高中数学一道解析几何题的思维展示

一道解析几何题的思维展示 兰州 27 中 孙志刚 （730030 TEL：13099253763）题目：AB 为抛物线的焦点弦，AB 的中垂线交 轴于 R，求证：|FR|=（F 为抛物线的焦点）.分析：题中没有画图，为了帮助思考，应该先作出图形。这是解决解析几何的问题基本策略。 如图， F 为定点，A、B、R 为动点，为了证明|FR|=，若用验证的方法，需要求出|FR|和|AB|的值，而 AB 过焦点 F，斜率 是变化的，当 确定以后，A、B、R 就都确定了，因此，整个解题过程应当是先求 的值，然后进行计算。解法 1：设直线 AB 的方程为，代入抛物线，得，，整理得，， 由韦达定理 ： ，，于是 ，，直线 AB 的中垂线方程为：令得，1所以，|FR|=， |AB|==2|FR|.得证.思考 1：注意到中垂线过 AB 的中点，如果用中点弦的办法，可以大大地简化解题过程。解法 2：如图，设 A、B 的坐标分别为，则有： ，，两式相减，得， ，于是： 即 又，所以，，（以下同解法 1，略）思考 2：因为 AB 是抛物线的焦点弦，可以与抛物线的焦半径联系起来，利用图形的几何性质去解决问题。解法 3：如图，设 A、B、R 的坐标分别为， 由中垂线的性质，|AR|=|BR|，所以 平方整理得 因为且，，所以，于是得：|FR|=|AB|.评析：解法 1 可以称为“设 k 法”，用待定系数法的思想，先设出直线的斜率，然后进行计算和验证。这种方法适用范围广泛，属于所谓的“通性通法”，是应该熟练掌握的。但是当方程较为复杂时，运算过程将变得很复杂。由于该题直线和抛物线的方程形式都比较简单，运算的复杂程度不很明显；若所给曲线比较复杂，为了避免陷入烦琐的运算，就要寻找可以简化计算的技巧。此外，设出斜率为 k，前提是直线的斜率存在，所以解题时要分情况讨论，说明斜率不存在的情况，以免遗漏。上面的解答中，当斜率不存在时，AB 与 x 轴垂直，AB 的中2垂线为 x 轴，R 点不存在，不合题意，所以可以不考虑这种情况。该题在解答过程中不叙述出来是容许的，但是在探求解题思路时应当有所考虑，解题后的思考中更是不可或缺。解法 2 是典型的“中点弦问题”，其步骤是“设点——作差——分解因式”，结果构造出直线的斜率和中点的坐标。凡与二次曲线的弦的中点有关的问题，基本上都可以用这种方法来简化计算。作为一种解题模型，要善于识别和熟练运用。解法 3 充分运用了“几何方法”，解答过程非常简捷。数形结合是一种最基本的数学思想，解析几何就是数...