高中数学素材：函数的模型及其应用两类案例剖析

函数的模型及其应用两类案例剖析 一．函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）． 二．利用给定函数模型解决实际问题【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，才能使问题本身获解．【案例剖析】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是 P 和 Q 万元，它们与投入资金 x（万元）的关系为：432xP,)3(43xQ,今投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？【解析】： 设投入甲产品资金为 x 万元（)30x，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y 万元．则xxQPy43)3(412 =1621)23(412 x当23x时，1621max y答：对甲、乙产品各投资为 1.5 万元，获最大利润为1621万元。【点评】：本题是给定函数求二次函数最值的应用问题，解答这类的问题关键是通过配方求二次函数的最值。三．建立确定的函数模型解决实际问题【方法点拨】通过观察图表，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机对数据进行处理，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题。【案例剖析】2008 年 5 月 12 日，四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度（J）1.619103.219104.519106.41910震级（里氏）5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量(1)画出震级（ y ）随地震强度（ x ）变化的散点图；（2）根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级（ y ）随地震强度（ x ）变化关系：,bkxybxay lg，bayx 10用心 爱心 专心（3）四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震时释放的能量是多少？（取lg 20.3）【解析】：（1）散点图如下图： （2）根据散点图，宜选择函数bxay lg。 （3）根据已知，得ba...