高中数学素材：函数零点的判断及其运用三注意

函数零点的判断及其运用三注意一.知识篇1.注意函数的零点与方程的根的关系： 一般地，对于函数( )yf x（ xD）我们称方程( )0f x  的实数根 x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程 f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数( )( )yf xg x的零点.2. 注意函数的图像与方程的根的关系： 一般地，函数( )yf x（ xD）的图像与 x 轴交点的横坐标就是( )0f x  的根.综合方程 f(x)=g(x)的根，就是求函数 y＝f(x)与 y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程( )( )yf xg x的图像与 x 轴交点的横坐标. 3. 注意判断一个函数是否有零点的方法： 如果函数( )yf x在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数( , )ca b使得( )0f c  ，这个 c 也就是方程( )0f x  的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助( )yf x图像判断解的个数，或者把( )f x 写成 ( )( )g xh x，然后借助( )yg x、( )yh x的图像的交点去判断函数( )f x 的零点情况. 二.运用篇1.判断函数零点注意构造新函数[例 1]已知二次函数2( )f xaxbxc对于 x 1、x 2R，且 x 1＜ x 2 时12()()f xf x，求证：方程( )f x ＝121[ ( )()]2 f xf x有不等实根，且必有一根属于区间（ x 1， x 2）.解：设构造函数 F（ x ）＝( )f x －121[ ( )()]2 f xf x，则方程( )f x ＝121[ ( )()]2 f xf x ① 与方程 F（ x ）＝0 ②等价. F（ x 1）＝1()f x－121[ ( )()]2 f xf x＝121[ ( )()]2 f xf xF（ x 2）＝2()f x－121[ ( )()]2 f xf x＝121[( )()]2f xf x用心 爱心 专心∴ F（ x 1）·F（ x 2）＝－2121[ ( )()]4 f xf x，又12()()f xf x∴F（ x 1）·F（ x 2）＜0故方程②必有一根在区间（ x 1，x 2）内.由于抛物线 y＝F（ x ）在 x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与 x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（ x 1， x 2）.点评：本题由于方程是( )f x ＝121[ ( )()]2 f xf x，其中因为有( )f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方...