高中数学素材：相同的题型、相同的背景带给我们怎样的启示

相同的题型、相同的背景带给我们怎样的启示一．2009 年线性规划与均值不等式知识相交汇求最值的问题例 1（2009 年山东省高考数学理科卷第 12 题）设 x，y 满足约束条件0,002063yxyxyx ，若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为 12，则 23ab的最小值为( ). A. 625 B. 38 C. 311 D. 4【分析】：本题告诉目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为 12，实际上是告知关于a与b 的一个约束条件，即a 与b 的一个方程。结合题中最后所求结果：23ab的最小值。熟悉利用均值不等式求最值题型的同学就会明白，这是一道有约束条件的利用均值不等式求最值的问题。【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z（a>0，b>0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即 4a+6b=12,于是 2a+3b=6。 正是因为方程“2a+3b=6”的出现，才为下面求最值创造了条件，这种线性规划与均值不等式的巧妙配合，才使这道题的亮点。而 23ab= 23 23131325()()26666abbaabab，故选 A.答案:A【点评】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.二．2008 年线性规划与指数函数知识相交汇的问题例 2．（2008 年山东省高考数学理科卷第 12 题）设二元一次不等式组0142,080192yxyxyx，所表示的平面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( ).（A）[1,3] (B)[2, 10 ] (C)[2,9] (D)[ 10 ,9] 【分析】：由题设所给条件我们并不难得到解决问题方法：数形结合，也就是说要画出平面区域 M 以及函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像，通过图像的分析对比找到参数 a 的限制条件。所给函数 y＝ax(a＞0，a≠1)为底数是参数的指数函数，要通过数形结合的方式观察函数 y＝ax(ax 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 ＞0，a≠1)图像通过区域 M 的情况就必须讨论 a 或确定 a。【解析】:如图阴影部分为平面区域 M， 可求得 A10,2 、B(1,9) 、C(3,8) 。 因为点 B 的横坐标为 1，由图像可知，欲满足条件必有1a，且函数 y＝ax的图像在过B 、C 两点的图像之间...