运用对数函数解决问题时注意数学思想的运用山东省利津县第一中学 胡彬 257400对数函数的考查,很多情况下是把对数函数和其它函数复合,获得复合函数后再来阐述问题.这就为考查数学思想埋下了伏笔.我们从历年的高考题中都可以看到他们的身影.一．函数、方程、不等式思想的运用[例 1]已知函数.（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为 1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数为复合函数且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，显然函数 g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而获得不等式：g(2)＝＞0 得到＜。 ∴的取值范围是（0，1）∪（1，）。(2)假设存在这样的实数，由题设知，而获得方程：＝1∴＝此时当时，没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.二．构造函数的思想的运用[例 2]已知函数 f(x)=, 其中为常数，若当 x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数 a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新构造的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：>0, 且 a2－a+1=(a－)2+>0, ∴ 1+2x+4x·a>0, a>,当 x∈(－∞, 1]时, y=与 y=都是减函数，用心 爱心 专心∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,∴ a>－, 故 a 的取值范围是(－, +∞). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新构造函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数 y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数 a的取值范围.此法也叫主元法.三．换元思想的运用[例 3] 已知 a>0 且 a≠1 ,f () = (x － ) (1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于 f(x) ,当 x ∈(－1,1)时 , 有 f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求 m 的集合 M .分析：先用换元法求出 ...
