高中数学素材——二次函数及其方程探讨零点问题的几个错解分析

二次函数及其方程探讨零点问题的几个错解分析山东省利津县第一中学 胡彬 257400二次函数的零点就是二次方程的根，也是二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标.一. 函数零点的判断方法理解有误导致错解[例 1]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.错解：设 有且只有一根在区间（0,1）内 ∴得＜－2.错因：对于一般，若，那么函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立. 但方程＝0 在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0 在区间（a,b）上有且只有一根，但是正解：设，（1）当＝0 时方程的根为－1，不满足条件.（2）当≠0 有且只有一根在区间（0,1）内又＝1＞0 ∴有两种可能情形①得＜－2,或者②得不存在.综上所得:＜－2. 二.忽视约束条件的检验导致错解[例 2]已知一次函数与二次函数图像如图，其中的交点与轴、轴的交点分别为 A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为 P、Q，P、Q 两点的纵坐标之比为 1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：.（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解用心 爱心 专心得∴一次函数为设 P（1，1），Q（，2），则1︰2＝1︰4∴︰＝1︰4 ∴1︰2＝1︰2 或1︰2＝（－1）︰2当1︰2＝1︰2 时，Q 点坐标为（21，41），把 P、Q 两点坐标分别代入一次函数即得 解得∴P（3，－1），Q（6，－4），二次函数为.当1︰2＝（－1）︰2 时，Q 点坐标为（－21，41）把 P、Q 两点坐标分别代入一次函数即得解得.∴P（1， 1），Q（－2， 4），二次函数为.错因：在得到1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去.题中 Q 在第二象限，所以不合条件.正解：（1）抛物线方程为（2）方法一：由（1）得方程 即为 解得1＝－2，2＝1. 方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为 P（1， 1），Q（－2， 4）， ∴方程的解为1＝－2，2＝1. 错解三:忽视二次函数的对称轴导致错解[例 3]是否存在这样的实数 k，使得关于 x 的方程2+（2k－3） －（3k－1）＝0 有两个实数根，且两根都在 0 与 2 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试说明理由.错解：令那么由条件得到即此不等式无解用心 爱心 专心即不存在满足条件的 k 值.错因...