高中数学素材——相同的题型、相同的背景带给我们怎样的启示

相同的题型、相同的背景带给我们怎样的启示评 2009 年山东省高考数学理科卷第 12 题山东省利津县第一中学 胡彬 257400从历年的出题规律来看，选择题的最后一道题应该是选择题的压轴题，也就是说无论是综合性、还是难易程度都要比其它选择题高出一筹。如果该题出得好，于是从这一道题我们既能看出出题者的水平，又能用其来衡量考生的解题能力。2009、2008 年连续两年山东省高考数学理科卷的第 12 题都是考查线性规划问题，其知识背景又都是线性规划与其他知识相交汇的问题。2008 年是线性规划与指数函数知识相交汇的问题，2008 年是线性规划与均值不等式知识相交汇求最值的问题。这两道题都恰到好处的扮演了选择题压轴题的脚色，具备了综合性与能力考查的双重功效，是两道上乘的好题。在回味试题的同时，我们目前所最为需要的是从中能否窥视出其中高考试题的出题的动向，或者从中是否可得到某种启示。下面我们先来对这两道试题作一下分析与对比，在从中掌握两类问题的解答方法，进而对今后的考查题型作出预测。一．2009 年线性规划与均值不等式知识相交汇求最值的问题例 1（2009 年山东省高考数学理科卷第 12 题）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为 12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4【分析】：本题告诉目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为 12，实际上是告知关于 与的一个约束条件，即 与 的一个方程。结合题中最后所求结果：的最小值。熟悉利用均值不等式求最值题型的同学就会明白，这是一道有约束条件的利用均值不等式求最值的问题。【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z（a>0，b>0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大 12,即 4a+6b=12,于是 2a+3b=6。 正是因为方程“2a+3b=6”的出现，才为下面求最值创造了条件，这种线性规划与均值不等式的巧妙配合，才使这道题的亮点。而=，故选 A.答案:A【点评】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.二．2008 年线性规划与指数函数知识相交汇的问题例 2．（2008 年山东省高考数学理科卷第 12 题）设二元一次不等式组所表示的平面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0，a≠1)...