高中数学：2.3.1 数学归纳法 素材（新人教A版选修2-2）

浅谈数学归纳法中 k 和 n 的时效性 数学归纳法历来作为高中数学的必修内容，它对培养学生的数学思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力，都有积极的作用，然而，学生在学习这一内容时，常常感到抽象难懂，我们先来看看数学归纳法的证题过程。 例：用数学归纳法证明22()kkxy能被（x+y）整除。证明：221,()())nxyxy xyxy时能被（整除，命题成立。 假设当()nk kN时，命题成立 即22)kkxyxy能被（整除 那么，当 n=k+1 时 222(1)2(1)222222222222nnkkkkkkkkxyxyxxyyxxxyxyyy 222222()()kkkxxyyxy 22xy能被（x+y)整除，根据归纳假设，22kkxy能被（x+y）整除， 22222()()kkkxyyxy2上式x能被（x+y) 整除，也就是说，当 n=k+1 时，命题也成立。 综合知，命题对所有自然数 N 都成立，[证毕]学生对上述证明过程的第二步觉得难以理解—怎么可用假设来证明呢？n 是自然数，k 也是自然数，k、n 不是不同吗？为什么可以“假当 n=k 时命题成立呢”，k 成立不就是 n 成立吗？还有 n=k，n=k+1 又是怎么一回事呢？学生对这些问题的存疑，势必影响学生对数学归纳法的理解和运用，要取得好的教学效果，必须先解决上述问题，但教材教参对上述问题也未做详述，多年的教学时间和探索，用“时效性”辨证地处理了 k 和 n 的关系，较好地解决了上述问题。 www.ks5u.com所谓时效性，是指 k 和 n 在证明过程的不同时刻有不同的含义和不同的效能，当命题证明正确后，k 和 n 就等有效了，即 k 和 n，n 就是 k；就本质而言，k 和 n 是相同的，都具有任意性，都是任意自然数，也即是所有自然数，差异体现在时效性上，我想学讲解，在未证明命题正确之前，k 和 n 是不同的，命题是要求证明对所有自然数 n 都成立，而归纳假设中的 k，此时未可理解为所有的自然数，这时应把假设“当 n=k 时命题成立”中的 k 理解为特指—在无穷无尽的自然数 N 中，至少存在某一个能使命题成立的自然数，就特指这个自然数为 k（或者说，若连这样一个 k 值都找不到，那么，命题根本不成立，事实上，证明过程中的已验证当 n=1 时，命题成立，自然数 1 便可做为命题成立的特指的第一个 k 值。（事实上，步骤中不一定验证 n=1是否成立，而是验证当0nn时是否成立，0n 是使命题成立的最小自然数，所以，第一个特指的 k 值是0n ）用心 爱...