高中数学：2.4 抛物线 素材2 苏教版选修2—1

聚焦抛物线的通径 我们知道，抛物线的“通径”在课本上是这样定义的：经过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线和抛物线交于12pMp，、22pMp，两点，线段12M M 叫做抛物线的通径．不难求得抛物线的通径长为2p ．通径作为抛物线的一条特殊的弦，所具有的某些结论和结论的探求方法可为迅速寻求某些问题提供求解途径． 一、“通径”性质的探求 如 图 １ ， 设 抛 物 线 方 程 为22(0)ypx p， AB 为 过 焦 点02pF ，的弦，其所在直线方程为(0)2pyk xk，联立消 y有，22222(2)04k pk xpkx． ①12pAFx，22pBFx，22212222(2)11tan22tanp kkABxxppppkk2222 (1 cot)2sinppp（  为弦 AB 所在直线的倾斜角且90  ）．显然当90  时，2ABp． 即“抛物线过焦点的弦长最小值为通径长2p ”． ②通径的端点和抛物线的顶点构成的等腰三角形面积为定值． 证明：如图 2，抛物线方程为22(0)ypx p，F 为其焦点，AB为抛物线的通径，则212222ABOppSp  △． 高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com二、“通径”性质的应用 抛物线的通径是过焦点的弦，但其本身有特殊的性质．如果解题时注意应用“通径”的用心 爱心 专心这些性质，将减少运算量，提高解题的速度． 例 1 直线l 过抛物线2(1)(0)ya xa的焦点，并且与 x 轴垂直．若l 被抛物线截得的线段长为 4，则a ______． 解析：所截得的线段就是抛物线的“通径”， 所以线段的长为24p  ， 又2ap，∴4a  ． 例 2 过抛物线2(0)yaxa的焦点 F 作一直线交抛物线于 PQ，两点，若 PF 与QF 的长分别是 pq， ，则11pq等于（ ） Ａ．2aＢ．12aＣ．4aＤ．4a 解析：本题可以用特殊位置法来解，因为弦 PQ 是任意的，所以，可以取最特殊的情况：弦 PQ 垂直 y 轴时（也就是“通径”）．此时 PFQF12a，∴114apq，故选（C）． 例 3 已知探照灯的轴截面是抛物线2yx ，如图 3 所示，平行于对称轴 x 轴的光线在抛物线上经 P、Q 两点两次反射后，反射光线仍平行于对称轴 x 轴．设点 P 的纵坐标为 (0)a a ，a 取何值时，从入射点 P 到反射点 Q 的光线路程最短． 解析：利用光学知识将问题转化为焦点弦长的最...