高中数学：2.5 夹角的计算 学案（北师大版选修2-1）

夹角的计算$$学法指导$$本小节主要包括三个部分的知识：直线间的夹角；平面间的夹角；直线与平面间的夹角 .在学习时要注意的问题有：（1）直线间的夹角：直线间夹角的范围是（2）求平面间的夹角时求平面的法向量是解题的关键.（3）求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量和平面的法向量所成的夹角，此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空间的夹角问题时，重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系.$$知识精要$$知识点 1: 直线间的夹角1.两直线的夹角当两条直线与共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角2. 异面直线的夹角:当两条直线与是异面直线时，在直线上任取一点 A 作 AB∥，我们把直线和直线AB 的夹角叫做异面直线与的夹角3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:已知直线与的方向向量分别为， ，当 0<<时，直线与的夹角等于；当<时，直线与的夹角等于－.注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键.知识点 2 (重难点) 平面间的夹角1. 平面间的夹角:在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角.注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念.2. (重点)求两平面间的二面角的向量求法方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小；注：要特别关注两个向量的方向方法二：设，分别是两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小.注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角.3. (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.平面和的法向量为和，为两个平面所成二面角的平面角，与的关系：(1) 当 0时，=；(2) （2）当<时，=－知识点 3 (重难点) 直线与平面间的夹角.1.直线与平面的夹角平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.注:直线与平面间的夹角的范围为2 直线与平面的夹角的计算方法（1）在平面内作出直线的投影，找到直线与平面的夹角，通过解三角形求出.（2）利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角.3. (难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：一直线的方向向量为，一平面的法向量为，则此直线与该平面的夹角与的关系为=.$$知识深化$$知识点 1: 直线间的夹角两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过的角，由于异面直线既不相交也...