抽象函数常见题型及解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下．一、函数的基本概念问题1．抽象函数的定义域问题例1已知函数)(2xf的定义域是[1，2]，求)(xf的定义域．解：由)(2xf的定义域是[1，2]，是指 1≤x≤2，所以 1≤x 2 ≤4，即函数)(xf的定义域是[1，4]．评析：一般地，已知函数 [ ( )]fx的定义域是 A，求)(xf的定义域问题，相当于已知 [ ( )]fx中 x 的取值范围为 A，据此求)(x的值域问题．例2已知函数)(xf的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log21xf的定义域．解：由)(xf的定义域是[－1，2]，意思是凡被 f 作用的对象都在[－1，2]中，由此易得 －1≤log21 (3－x)≤2 ( 21 ) 2 ≤3－x≤( 21 )1 1≤x≤ 411 ．∴函数)]3([log21xf的定义域是[1， 411 ]．评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(xf的定义域是 A，求函数))((xf 的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(xf的定义域是 A，则 x 必须是 A中的元素，而不能是 A 以外的元素，否则，)(xf无意义．因此，如果)(0xf有意义，则必有 x0 A．所以，1这类问题实质上相当于已知)(x的值域是 A，据此求 x 的取值范围，即由)(xA 建立不等式，解出 x的范围．例 2 和例 1 形式上正相反．2．抽象函数的求值问题例 3 已知定义域为 R 的函数)(xf，同时满足下列条件：①)2(f= 1，)6(f= 51 ；②)(yxf=)(xf＋)(yf，求)3(f、)9(f的值．解：取 x = 2，y = 3，得)6(f=)2(f＋)3(f， )2(f= 1，)6(f= 51 ，∴)3(f=－ 54 ．又取 x = y = 3，得)9(f=)3(f＋)3(f=－ 58 ．评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取 x = 2，y = 3，这样便把已知条件)2(f= 1，)6(f= 51 与欲求的)3(f沟通了起来．这是解此类问题的常用技巧．3．抽象函数的值域问题例 4 设函数 f (x) 定义于实数集上，对于任意实...
