高中数学：第3章《指数函数》素材（新人教B必修1）VIP专享

指数函数中的数学思想指数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．一、数形结合思想例 1 若函数( )1xf xab （0a ，且1a  ）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）．（A）0＜a＜1 且 b＞0（B）a＞1 且 b＞0（C）0＜a＜1 且 b＜0（D）a＞1 且 b＜0解析：因为函数的图象经过第二、三、四象限，结合指数函数的图象特征可知，函数为减函数，即 0＜a＜1，所以函数图象如图所示．又因为图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，即0(0)10fab ，∴b＜0．故选（C）．点评：熟悉函数的图象特征是数形结合的基础．二、分类与整合思想例 2 设311xya，22xya，其中 a＞0，a≠1．确定 x 为何值时，有（1）12yy；（2）12yy．解：（１） 12yy，∴312xxaa，∴312xx ，∴15x ．（２） 12yy，∴312xxaa．当 a＞1 时，312xx  ，解得15x  ．当 0＜a＜1 时，312xx  ，解得15x  ．点评：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分情况进行讨论．三、转化思想例 3 若正整数 m 满足151210210mm ，求 m 的值．（lg2≈0.301）解：将指数转化为对数，由1512102m ，得1512lg 2m ，即512lg 2 1m  ．由512210m，得512lg 2m．所以原不等式可转化为512lg 2512lg 2 1m ．将lg 20.301≈代入，得154.112155.112m．故正整数 m＝155．点评：有关指数、对数大小比较问题，常常需将问题转化，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，有时需将对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的．四、整体思想例 4 函数xya（a＞0，a≠1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为 3，则实数 a 的值为 （ ）．（A） 12 （B）2 （C） 14 （D）4解析：若对 a 进行分类讨论，此题可解，但观察本题特征，用整体思想求解更简洁． 无论 a＞１还是０＜a＜１，函数( )f x 均为单调函数，∴ ( )f x 的最值在区间端点处取得．∴ f（0）＋f（1）＝3，即１＋a＝3．∴a＝2．故选（Ｂ）．点评：从全局入手，从大处着眼，聚零为整，一举击破．数学思想是数学的精髓，上面所讲的数学思想在对数函数中也有所体现...