高中数学：第7课时等差数列的前n项和2学案苏教版必修5

听课随笔第 7 课时等差数列的前 n 项和（2）【学习导航】知识网络 学习要求 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1. 等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，那么数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为 k 2 d .2.在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn存在最大值.若 a1＜0,d＞0，则 Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用na :当na >0，d<0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆可由na ≥0，且1na≤0，求得n的值奎屯王新敞新疆当na <0，d>0，前 n 项和有最小值奎屯王新敞新疆可由 na ≤0，且1na≥0，求得 n 的值奎屯王新敞新疆(2)利用nS ：由n)2da(n2dS12n二次函数配方法求得最值时n的值奎屯王新敞新疆【精典范例】【例 1】已知一个等差数列的前四项和为 21，末四项和为 67，前n 项和为 286，求数列的项数n 。分析 条件中的 8 项可分为 4 组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】 1213243nnnnaaaaaaaa121 67224naa，1()112862nnn aaSn，26n。【例 2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的 前 n 项 和 分 别 是 Sn 、 Sn′ ， 若1332' nnSSnn,求99ba.【解法一】 2a9=a1+a17,2b9=b1+b17,∴S17=2)(17171aa =17a9,S17′=2)(17171aa =17b9,∴503711733172171799SSba.【解法二】 ｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′n(A、B、A′、B′∈R), nnnnnnSSnn23321332',进而可设 Sn=(2n2+3n)t,Sn′=(3n2 － n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn － Sn －1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,∴a9＝37t.同理可得 bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t,∴b9=50t,∴503799 ba.【例 3】数列｛an｝是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前 n 项和 Sn的最大值.(3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值.【 解 】 (1) 由 已 知 a6=a1+5d=23+5d ＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,解得:－ 523 ＜d＜－ 623 ,又 d∈Z,∴d=－4(2) d＜0，∴{an}是递减数列，又 a6＞0，a7＜0∴当 n=6 时，Sn取得最大值，S6=6×23+256 (－4)=78(3)Sn=23n+2)1( nn...