一、导数与函数的交汇例 1．（2006 年山东卷）设函数,其中,求的单调区间
解析：由已知得函数的定义域为，且 （）（1）当时，，函数在上单调递减
（2）当时，由，解得
随的变化情况如下表:极小值从上表可知当时，，函数在上单调递减
当时，函数在上单调递增
综上所述:当时，函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减, 函数在上单调递增
【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新
主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围
二、导数与数列的交汇例 2．（2006 年江苏卷）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 解析：曲线在处的切线的斜率为又因为切点为，所以切线方程为，令得,令
数列的前项和为【评注】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点
否则容易出错
三、导数与三角的交汇例 3．（2005 年湖北）若，则与的大小关系 （ ）A． B． C． D．与的取值有关解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关
故答案应选 D
例 4．（2005 年全国 1）设函数，图象的一条对称轴是直线（1）求;（2）求函数的单调区间（3）证明直线与函数的图象不相切
解析：（1）是函数的图象的对称轴,（2）由（1）知因此由题意可得
所以函数的单调增区间为（3）证明:曲线的切线斜率的取值范围为
而直线的斜率为, 直线与函数的图象不相切
【评注】（1）例 3 若直接比较与的大小关系,则比较麻烦
而采用构造函数,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效
（2）例 4
的第 3 小题利用导数的几何意义来证明直线与函数的图象不相切
起到化繁为简的作用
四、导数与向量
