一、导数与函数的交汇例 1．（2006 年山东卷）设函数,其中,求的单调区间.解析：由已知得函数的定义域为，且 （）（1）当时，，函数在上单调递减.（2）当时，由，解得.、.随的变化情况如下表:极小值从上表可知当时，，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述:当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减, 函数在上单调递增.【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新.主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围.二、导数与数列的交汇例 2．（2006 年江苏卷）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 解析：曲线在处的切线的斜率为又因为切点为，所以切线方程为，令得,令.数列的前项和为【评注】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点.否则容易出错.三、导数与三角的交汇例 3．（2005 年湖北）若，则与的大小关系 （ ）A． B． C． D．与的取值有关解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关。故答案应选 D.例 4．（2005 年全国 1）设函数，图象的一条对称轴是直线（1）求;（2）求函数的单调区间（3）证明直线与函数的图象不相切.解析：（1）是函数的图象的对称轴,（2）由（1）知因此由题意可得.所以函数的单调增区间为（3）证明:曲线的切线斜率的取值范围为.而直线的斜率为, 直线与函数的图象不相切.【评注】（1）例 3 若直接比较与的大小关系,则比较麻烦.而采用构造函数,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效. （2）例 4.的第 3 小题利用导数的几何意义来证明直线与函数的图象不相切.起到化繁为简的作用.四、导数与向量、方程的交汇例 5．（2001 年天津高考模拟试题）已知平面向量，（1）证明（2）若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式（3）据（2）的结论，议论关于 的方程的解的情况。解析：（1）（2）即整理得上式化为（3）讨论方程的解的情况，可以看作曲线与直线的交点个数。于是，令解得，当 变化时，的变化情况如下表：极大值极小值当时，有极大值，极大值为当时，有极小值，极小值为而时，得所以的图象大致如图所示：于是当或时，直线与曲线仅有一个交点，则方程有一解；当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有...
