勾股定理的证明【证法 1】（课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形。 它的面积等于 c2. RtΔGDH ≌ RtΔHAE， ∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。又 ∠GHE = 90º，∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ 。【证法 3】（赵爽证明)以 a、b 为直角边（b〉a)， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtΔDAH ≌ RtΔABE， ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∠HAD + ∠HAD = 90º,∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2。 EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º。∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于。∴ 。∴ .【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∠AED + ∠ADE = 90º，∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于。又 ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º，∴ AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于.∴ 。∴ 。【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使 D、E、F...
