创新点2 立体几何与空间向量中的新定义问题VIP专享

立体几何与空间向量中的新定义问题高考定位 立体几何中新定义问题主要有两种：一是定义新几何体或几何体的度量；二是定义新空间向量或向量的运算.【题型突破】题型一 定义新几何体或几何体的度量例 1 (2024·南昌二模)如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图 1 与图 2 是完全相同的“斜截圆柱”，AB 是底面圆 O 的直径，AB＝2BC＝2，椭圆所在平面垂直于平面 ABCD，且与底面所成二面角为 45°，图 1 中，点 P 是椭圆上的动点，点 P在底面上的投影为点 P1，图 2 中，椭圆上的点 Ei(i＝1，2，3，…，n)在底面上的投影分别为 Fi，且 Fi均在直径 AB 的同一侧.(1)当∠AOP1＝时，求 PP1的长度；(2)① 当 n＝6 时，若图 2 中，点 F1，F2，…，F6将半圆均分成 7 等份，求(E1F1－2)·(E2F2－2)·(E3F3－2)；② 证明：AF1·E1F1＋F1F2·E2F2＋…＋·EnFn＋FnB·BC<2π.(1)解 如图，取 CD 中点 M，过 M 作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交 DA 于点 G，交 BC 延长线于点 H，与 PP1交于点 I，因 MH＝MG＝1，∠CMH＝∠DMG＝45°，则 DG＝HC＝1，AG＝2，过 M 作 GH的垂线，交圆 M 于 J，K 两点.过 I 作 IN⊥JK 交 JK 于点 N，又由 PI⊥圆 M，因 JK⊂圆 M，则 PI⊥JK，又因PI∩IN＝I.故 JK⊥平面 PIN.因 PN⊂平面 PIN，故 PN⊥JK，所以∠PNI 为椭圆面与圆 M 所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，所以∠PNI＝45°，则△PNI 为等腰直角三角形，PI＝IN.设∠AOP1＝θ，如图作圆 M 所在平面的俯视图，则∠GMI＝θ，由 GH⊥JK，IN⊥JK，所以 GH∥IN，则有∠NIM＝∠GMI＝θ，所以 IN＝MIcos θ＝cos θ，所以 PP1＝IP1＋PI＝IP1＋IN＝2＋cos θ，当 θ＝时，PP1＝2＋cos ＝.(2)① 解 n＝6 时，θ＝，所以 E1F1＝2＋cos ，E2F2＝2＋cos ，E3F3＝2＋cos ，所以(E1F1－2)·(E2F2－2)·(E3F3－2)＝cos cos cos ＝××＝××＝.② 证明 由(1)知 PP1＝2＋cos θ，也即 PP1是关于 θ 的函数，也即将斜截圆柱的侧面沿着 AD 展开，其椭圆面的轮廓线即为函数 y＝2＋cos x的图象，如图，将 E1F1，E2F2，…，EnFn，BC 绘制于函数 y＝2＋cos x 图象上，并以 EiFi，Fi－1Fi(i＝2，3，…，n)为边作矩形，则矩形的面积即为·EiFi，所以AF1·E1F1＋F1F2·E2F2＋…＋·EnFn＋FnB·BC 即为这...