提优点5 立体几何中动点及其轨迹问题VIP专享

立体几何中动点及其轨迹问题【知识拓展】立体几何中的动点及其轨迹问题有两个类型：(1)研究动点的轨迹，主要方法有定义法(如圆锥曲线定义)、解析法、交轨法；(2)与动点有关的最值、范围问题，主要方法有几何法、函数法.【类型突破】类型一 动点的轨迹问题考向 1 定性的研究动点的轨迹例 1 (多选)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M 为 DD1 的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，则下列说法正确的是( )A.若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则点 N 的轨迹为圆B.若 MN＝4，则 MN 的中点 P 的轨迹所围成图形的面积为 2πC.若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线D.若 D1N 与 AB 所成的角为，则点 N 的轨迹为双曲线答案 ACD解析 如图所示，对于 A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面 ABCD，所以∠MND 为 MN 与平面 ABCD 所成的角，所以∠MND＝，所以 DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点 N 的轨迹为以 D 为圆心，2 为半径的圆，故 A 正确；对于 B，在 Rt△MDN 中，DN＝＝＝2，取 MD 的中点 E，因为 P 为 MN 的中点，所以 PE∥DN，且 PE＝DN＝，DN⊥ED，所以 PE⊥ED，即点 P 在过点 E 且与 DD1垂直的平面内，又 PE＝，所以点 P 的轨迹为以为半径的圆，其面积为 π·()2＝3π，故 B 不正确；对于 C，连接 NB，因为 BB1⊥平面 ABCD，所以 BB1⊥NB，所以点 N 到直线 BB1的距离为 NB，所以点 N 到点 B 的距离等于点 N 到定直线 CD 的距离，又 B 不在直线 CD 上，所以点 N 的轨迹为以 B 为焦点，CD 为准线的抛物线，故 C 正确；对于 D，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设 N(x，y，0)，则AB＝(0，4，0)，D1N＝(x，y，－4)，因为 D1N 与 AB 所成的角为，所以|cos〈AB，D1N〉|＝cos，所以＝，整理得－＝1，所以点 N 的轨迹为双曲线，故 D 正确.规律方法 定性的研究动点的轨迹要利用线面平行、垂直的性质定理，结合圆锥曲线等的定义，确定动点的轨迹.训练 1 已知在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1与底面 A1B1C1D1垂直，且 AD＝AB，E 为 CC1的中点，P 在对角面 BB1D1D 内运动，若 EP 与 AC 成 30°角，则点 P 的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆答案 A解析 因为在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1与...