奔驰定理与三角形四心【知识拓展】1.奔驰定理如图，已知 P 为△ABC 内一点，则有 S1·PA＋S2·PB＋S3·PC＝0(其中 S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB 的面积).证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|PA|＝x，|PB|＝y，|PC|＝z.根据三角形正弦定理面积公式得S1PA＋S2PB＋S3PC＝yzsin[2π－(α＋β)]·PA＋xzsin βPB＋xysin αPC＝－yzsin(α＋β)PA＋xzsin βPB＋xysin αPC，①把①式两边与向量PA作数量积得(S1PA＋S2PB＋S3PC)·PA＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α＋x2yzsin αcos β＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0.同理：①式两边与向量PB，PC作数量积都得 0.但 是 S1PA ＋ S2PB ＋ S3PC 不 可 能 同 时 与 PA ， PB ， PC 三 个 向 量 垂 直 ， 而PA，PB，PC也不可能都为 0，所以 S1PA＋S2PB＋S3PC＝0.该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)(1)点 O 是△P1P2P3的重心⇔OP1＋OP2＋OP3＝0⇔S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝S△P1P2P3；(2)点 O 是△P1P2P3的垂心⇔OP1·OP2＝OP2·OP3＝OP3·OP1⇔tan P1·OP1＋tan P2·OP2＋tan P3·OP3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)；(3)点 O 是△P1P2P3的内心⇔aOP1＋bOP2＋cOP3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中 a，b，c 是△P1P2P3的三边，分别对应角 P1，P2，P3)；(4)点 O 是△P1P2P3 的外心⇔|OP1|＝|OP2|＝|OP3|⇔OP1sin 2P1＋OP2sin 2P2＋OP3sin 2P3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.【类型突破】类型一 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题例 1 (1)已知 O 是△ABC 内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数 m＝( )A.2B.3C.4D.5(2)已知点 A，B，C，P 在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC＝( )A.14∶3B.19∶4 C.24∶5D.29∶6答案 (1)C (2)B解析 (1)法一 延长 CO 到点 M(图略)，使得OM＝－OC，因为OA＋2OB＋mOC＝0，所以－OC＝OA＋OB，即OM＝OA＋OB，所以 A，B，M 三点共线，又因为OC与OM反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得 m＝4.法二(奔驰定理法) 由奔驰定理得S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·O...
