摘要离散余弦变换（DCT）是一种正交变换，它本身并不会改变信息源的熵值，因而是一种无损的变换。但是由于离散余弦变换（DCT）变换能够给量化和编码等过程创造很好的条件，因而在数字信号处理领域，特别是语音和图像压缩领域有着很广泛的应用。对于语音信号与图像信号这样相关性很强的信号而言，离散余弦变换（DCT）接近于最优的 KL 变换(Karhunen-Loeve Transform)。传统的 2-D 离散余弦变换（DCT）变换过程是行-列变换，这种方法直观简单但是效率低下，在有些实时性要求较高的图像压缩领域并不能满足要求。从离散余弦变换（DCT）的数学表达式上可以看出，其具有很高的对称性，利用这种对称性可以极大地降低算法的复杂度。本次课程报告在总结前人研究的基础上，展示并实现了一种快速变换和反变换算法，并在 MATLAB 平台上进行了实现与测试。结果表明，这种算法具有高效、简单、易于实现的特点。关键词：快速离散余弦变换，快速离散余弦反变换，快速算法，图像压缩12-D DCT 算法优化一、 引言(一)研究背景在本次的课程报告中，DCT 的优化算法主要是针对于 2 维输入数据，因而此算法主要针对的是图像处理。在图像处理领域中，图像压缩编码依据原理可以分为熵编码、预测编码、变换编码和混合编码。DCT 属于其中的变换编码，变换编码还包括傅里叶变换和沃尔什变换等等。变换编码是一种数学变换对，通常是将 2 维空间域上的图像经过正交变换映射到另一个空间域上（例如频域），并且使得变换后的系数之间的相关性降低。就变换本身而言，它是一种在数学上无损的变换，通过反变换可以恢复原信号。但是这种变换的特点在于，变换后图像的大部分能量只集中在少数几个变换系数上，这就为量化编码和熵编码带来了很大的便利，在对系数进行编码后就能实现图像的压缩。在理论上，K-L 变换是最优的正交变换，它能够完全消除图像块内像素间的线性相关性，经过 K-L 变换后各个系数在统计上不相关，其协方差矩阵是对角阵，因而 K-L 变换能够大大的减小原数据的冗余度。如果在 K-L 变换之后丢弃数值娇小的系数，所造成的均方误差是所有正交变换中最小的。但是 K-L 变换有一个很大的缺点，它的基向量是图像的协方差矩阵的特征向量。这就意味着对于不同的图像，它的基向量是不相同的，为了对图像进行 K-L 变换，就需要先计算每一幅图像的相关矩阵，再对相关矩阵作特征分解，取特征向量作为变换的基向量。这就使得 K-L 变换的使用变得很麻烦...
