.导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共 13 题) 1．已知函数 f（x）=（aexax﹣ ﹣ ）ex（a≥0，e=2.718…，e 为自然对数的底数），若 f（x）≥0 对于 x∈R 恒成立．（1）求实数 a 的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点 x0，且．【解答】（1）解：f（x）=ex（aexax﹣ ﹣ ）≥0，因为 ex＞0，所以 aexax﹣ ﹣ ≥0 恒成立，即 a（ex1﹣ ）≥x 恒成立，x=0 时，显然成立，x＞0 时，ex1﹣ ＞0，故只需 a≥在（0，+∞）恒成立，令 h（x）=，（x＞0），h′（x）=＜0，故 h（x）在（0，+∞）递减，..而==1，故 a≥1，x＜0 时，ex1﹣ ＜0，故只需 a≤在（﹣∞，0）恒成立，令 g（x）=，（x＜0），g′（x）=＞0，故 h（x）在（﹣∞，0）递增，而==1，故 a≤1，综上：a=1；（2）证明：由（1）f（x）=ex（exx1﹣ ﹣ ），故 f'（x）=ex（2exx2﹣ ﹣ ），令 h（x）=2exx2﹣ ﹣ ，h'（x）=2ex1﹣ ，所以 h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增，h（0）=0，h（ln）=2elnln﹣2=ln21﹣﹣ ＜0，h（﹣2）=2e2﹣ ﹣（﹣2）﹣2=＞0， h（﹣2）h（ln）＜0 由零点存在定理及 h（x）的单调性知，方程 h（x）=0 在（﹣2，ln）有唯一根，..设为 x0且 2ex0x﹣02=0﹣，从而 h（x）有两个零点 x0和 0，所以 f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而 f（x）存在唯一的极大值点 x0即证，由 2ex0x﹣02=0﹣得 ex0=，x0≠1﹣ ，∴f（x0）=ex0（ex0x﹣01﹣ ）=（﹣x01﹣ ）= （﹣x0）（2+x0）≤ （）2=，取等不成立，所以 f（x0）＜得证，又 ﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增所以 f（x0）＞f（﹣2）=e2﹣ [e2﹣ ﹣（﹣2）﹣1]=e4﹣ +e2﹣ ＞e2﹣ ＞0 得证，从而 0＜f（x0）＜成立． 2．已知函数 f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数 f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求 a 的取值范围；（2）当 a=1 且 k∈Z 时，不等式 k（x1﹣ ）＜f（x）在 x∈（1，+∞）上恒成立，求 k的最大值．【解答】解：（1） 函数 f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）=a+lnx+1≥0 在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx1﹣ ）max=2﹣ ．..∴a≥2﹣ ．∴a 的取值范围是[2﹣ ，+∞）．（2）a=1 时，f（x）=x+lnx，k∈Z 时，不等式 k（x1﹣ ）＜f（x）在 x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令 g（x）=，则...
