核心母题三 动点、存在性、距离、面积问题【核心母题】如图 1 ，已知抛物线 y ＝－ x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A( － 1， 0) ， B(3 ， 0) 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t.(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴为 l ， l 与 x 轴的交点为 D. 在直线 l上是否存在点 M ，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图 2 ，连接 BC ， PB ， PC ，设△ PBC 的面积为 S.① 求 S 关于 t 的函数解析式；② 求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标．【重要考点】 二次函数的图象与性质、四边形与三角形有关知识．【考查方向】 2019 年中考的存在性问题仍然是考查热点，一般放置在解答题最后压轴的位置，综合性强，涉及的知识点广，分值一般为 10 ～ 12 分．【命题形式】 通常以二次函数与几何图形的动点、存在性问题综合命题．【母题剖析】 (1) 利用待定系数法求解；(2) 连接 PC ，求对称轴，分情况讨论求解；(3)① 过点 P 作 PF∥y 轴，求出直线 BC 的解析式和点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数解析式；② 利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论．【母题详解】 突破关键词：二次函数、动点、存在点、距离、面积、分类讨论 (1) 将 A( － 1 ， 0) ， B(3 ， 0) 代入 y ＝－ x2 ＋ bx ＋ c，∴ 抛物线的解析式为 y ＝－ x2 ＋ 2x ＋ 3.(2) 如图，连接 PC ，交抛物线对称轴 l 于点 E. 抛物线 y ＝－ x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A( －1 ， 0) ， B(3 ， 0) 两点，∴ 抛物线的对称轴为直线 x ＝ 1.当 t ＝ 2 时，点 C ， P 关于直线 l 对称，此时存在点 M ，使得四边形 CDPM 是平行四边形． 抛物线的解析式为 y ＝－ x2 ＋ 2x ＋ 3 ，∴ 点 C 的坐标为 (0 ， 3) ，点 P 的坐标为 (2 ， 3) ，∴ 点 M 的坐标为 (1 ， 6) ．当 t≠2 时，不存在．理由如下：若四边形 CDPM 是平行四边形，则 CE ＝ PE. 点 C 的横坐标为 ...
