第十二章 全等三角形人教版专题训练 ( 二 ) 全等三角形的基本模型模型一 平移型模型解读：把△ ABC 沿着某一条直线 l 平行移动，所得到的△ DEF 与△ ABC 称为平移型全等三角形．图①，图②是常见的平移型全等三角形．1 ．如图， AB DE∥， AC DF∥， BE ＝ CF ，求证： AB ＝ DE.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF，∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，在△ABC 与△DEF 中，∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE. 模型二 翻折型模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．图①，图②，图③是常见的翻折型全等三角形．2 ．如图， AB ＝ AC ， BEAC⊥于点 E ， CDAB⊥于点 D ， BE ， CD 交于点 O. 求证： OB ＝ OC.证明：∵ BEAC⊥， CD⊥AB ，∴∠ ADC ＝∠ AEB ＝∠ BDO ＝∠ CEO ＝90° ，在△ ABE 与△ ACD 中，∠ BEA ＝∠ CDA ，∠ A ＝∠ A ， AB ＝ AC ，∴△ ABE≌△ACD(AAS) ，∴ AD ＝ AE ，∠ B ＝∠ C ，∴ BD ＝ EC ，在△ BDO 与 △ CEO 中 ， ∠ BDO ＝ ∠ CEO ， DB ＝ EC ， ∠ B ＝∠ C ，∴△ BDO≌△CEO(ASA) ，∴ OB ＝ OC.模型三 旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图①，涉及对顶角相等；如图②，涉及等角加 ( 减 ) 公共角相等．3 ．如图， ABCD⊥于点 B ， CF 交 AB 于点 E ， CE ＝ AD ， BE ＝ BD. 求证： CFAD.⊥证明：∵AB⊥CD，∴∠EBC＝∠DBA＝90°.在 Rt△CEB 与 Rt△ADB中CE＝AD，BE＝BD，∴Rt△CEB≌Rt△ADB(HL)，∴∠C＝∠A，又∵∠C＋∠CEB＝90°，∠CEB＝∠AEF，∴∠A＋∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴CF⊥AD. 模型四 一线三等角型模 型 解 读 ： 基 本 图 形 如 下 ． 此 类 图 形 通 常 已 知BDDE⊥， AB⊥AC ， CE⊥DE ，那么一定有∠ B ＝∠ CAE.4 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ BC ，直线 MN 经过点 C ，且 ADMN⊥于点 D ， BEMN⊥于点 E.(1) 求证：△ ADCCEB≌△；(2) 若 AD ＝ 1 ， BE ＝ 2 ，求△ ABC 的面积．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ADC 和△CEB 中，∵∠BCE＝∠DAC，∠ADC＝∠CEB，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)． (2)∵△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝EB.又∵DE＝DC＋CE，∴DE＝EB＋AD＝2＋1＝3.∴△ABC 的面积为12(1＋2)×3－12×1×2×2＝2.5.
