人教版专题训练 ( 五 ) 利用“三线合一”巧解题类型一：利用“三线合一”进行证明1 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，过点 C 作 CN AB∥且 CN ＝ AC ，连接 AN 交 BC 于点 M. 求证： BM ＝ CM.证明：∵ AB ＝ AC ， CN ＝ AC ，∴ AB ＝ CN ，∠ N ＝∠ CAN. 又∵ AB CN∥，∴∠ BAM ＝∠ N ，∴∠ BAM ＝∠ CAM ，∴ AM 为∠ BAC 的平分线，又∵ AB ＝ AC ，∴ AM 为△ ABC 的边 BC 上的中线，∴ BM ＝ CM.2 ．如图，在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D ， DE BC∥交 AB于点 E ， EFBD⊥于点 F. 求证：∠ BEF ＝∠ DEF.证明：∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD＝∠ CBD ，∵ DE∥BC ，∴∠ EDB ＝∠ CBD ，∴∠ ABD ＝∠ EDB ，∴ EB＝ ED ，又 EFBD⊥，∴∠ BEF ＝∠ DEF.类型二：构造“三线合一”巧解题思路 1 ：作底边的中线，构造“三线合一”3 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，过 A 点的直线EF BC∥，且 AE ＝ AF. 求证： DE ＝ DF.证明：连接 AD ，图略．∵ AB ＝ AC ， D 是BC的中点，∴ AD⊥BC ，∵ EF BC∥，∴ AD⊥EF ，又∵ AE ＝ AF ，∴ DE ＝ DF.思路 2 ：作底边的高，构造“三线合一”4 ．如图，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 在边 BC 上，且 AD＝ AE. 求证： BD ＝ CE.证明：如图，过点 A 作 AHBC⊥，垂足为点 H, ∵AB ＝ AC ， AH⊥BC ，∴ BH ＝ CH ，同理可证， DH ＝ EH ，∴ BH － DH ＝ CH －EH ，∴ BD ＝ CE.5 ．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 E 在 AC 上，点 D 在 BA 的延长线上，且 AD ＝ AE ，连接 DE. 求证： DEBC.⊥证明：如图，过点 A 作 AMBC⊥于点 M ，∵ AB ＝ AC ，∴∠ BAC ＝2BAM∠，∵ AD ＝ AE ，∴∠ D ＝∠ AED ，∴∠ BAC ＝∠ D ＋∠ AED＝ 2D∠，∴∠ BAC ＝ 2∠BAM ＝ 2D∠，∴∠ BAM ＝∠ D ，∴ DE∥AM ，∵ AM⊥BC ，∴ DE⊥BC.思路 3 ：遇有垂直时，将图形以垂线为轴翻折，构造“三线合一”6 ．如图，在△ ABC 中， ADBC⊥于点 D ，且∠ B ＝ 2C.∠求证： CD ＝AB ＋ BD.证明：在 DC 上截取 DE ＝ BD ，连接 AE ，图略．∵ BD ＝DE ， AD⊥BC ，∴ AB ＝ AE ，∴∠ B ＝∠ AEB ＝∠ EAC ＋∠ C ，又∵∠ B ＝ 2C∠，∴∠ EAC ＝∠ C ，∴ AE ＝ EC ，∴ CD ＝ CE ＋ DE ＝AE ＋ ED ＝ AB ＋ BD.
