热热热热热热第二部分 专题八 动点型几何探究问题题型一 动点与特殊图形的存在性问题• 存在性问题一般是在假定存在的条件下来对问题展开分析与探讨，根据得出的结论分析存在的可能性，若讨论的结果在允许的范围内，则表示存在；反之则表示不存在．存在性探究问题的一般思路：先对结论做出肯定的假设，然后从肯定出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合，若无矛盾，则说明假设正确，由此得出符合条件的数学关系；否则，说明不存在． 常考题型 · 精讲例1 (2018·遵义)如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点 D，交 AC 于点 E，连接 DA，DC.已知半圆 O 的半径为 3，BC＝2. (1)求 AD 的长； 答图 1 【解答】如答图 1，连接 OD. ∵OA＝OB＝OD＝3，BC＝2，∴AC＝8. ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AE＝12AC＝4， ∴OE＝AE－OA＝1. 在 Rt△ODE 中，DE＝ OD2－OE2＝2 2， 在 Rt△ADE 中，AD＝ AE2＋DE2＝2 6. • ☞ 思路点拨• 第一步：要求 AD 的长，在 Rt△ADE 中，要先求出 AE 和 DE 的长；• 第二步：根据题意，易得 AC 的长，再用勾股定理求出 DE ，即可得出结论． • (2) 点 P 是线段 AC 上一动点，连接 DP ，作∠ DPF ＝∠DAC ， PF交线段 CD 于点 F. 当△ DPF 为等腰三角形时，求 AP 的长．【解答】 如答图 2，当 DP＝DF 时， 点 P 与点 A 重合，点 F 与点 C 重合，则 AP＝0； 如答图 3，当 PF＝DF 时，则∠FDP＝∠FPD. ∵∠DPF＝∠DAC＝∠C，∴△DAC∽△PDC， ∴PCCD＝CDAC，∴8－AP2 6 ＝2 68 ，∴AP＝5； 如答图 4，当 DP＝PF 时，则∠CDP＝∠PFD. ∵∠DPF＝∠DAC， ∴∠DPF＝∠C. ∵∠PDF＝∠CDP，∴△PDF∽△CDP， ∴∠DFP＝∠DPC，∴∠CDP＝∠CPD， ∴CP＝CD，∴AP＝AC－CP＝AC－CD＝AC－AD＝8－2 6. 综上所述，当△DPF 为等腰三角形时，AP 的长为 0 或 5 或 8－2 6. • ☞ 思路点拨• 第一步：当△DPF 为等腰三角形时求 AP 的长，由于题目并没有明确说明等腰三角形的底和腰，所以分三种情况：• ① 当 DP ＝ DF 时，△DPF 为等腰三角形；• ② 当 PF ＝ DF 时，△DPF 为等腰三角形；• ③ 当 DP ＝ PF 时，△DPF 为等腰三角形．• 第二步：在这三种情况下，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论．
