在新教材第二册（下A）第141页“排列、组合和概率”一道课本概率习题的推广

一道课本概率习题的推广 在新教材第二册（下 A）第 141 页“排列、组合和概率”的小结与复习中有这样一题“将并排的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求每个房间恰好进入 1 人的概率。”分析：由于每个人可以进入任一房间，进入哪个房间有 5 种等可能的方法。根据分步计数原理，5 个人进入 5 个房间共有55 种等可能的方法。每个房间中恰好各进去 1 人，相当于对 5 个人进行全排列，其排法的种数是 5！，因此，每个房间恰好进入 1 人的概率：P=5!55 =24625 。 纵向推广 1：将并排的 6 个房间安排给 5个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的 5 个房间恰好进住 1 人的概率。分析：每人有 6 个房间可供选择，所以 5 个人住的方式有65 种，指定的 5 个房间各有 1 人住，其可能总数为 5 人的全排列 5！，于是 P=5!65。纵向推广 2：将上题中的“指定的 5 个房间恰好进住 1 人”改为“恰有 5 个房间各入住 1 人”，情况又如何？ 分析：题中的 5 个房间可以在 6 个房间中任意选取，其总数有C65种，对选定的 5个房间，按上述的分析可知有 5！种分配方式，所以恰有 5 个房间入住 1 人的概率为P=C65⋅5!65。将纵向推广 1 推广到一般情况 1 ：将并排的 N 个房间安排给 n 个工作人员临时休息（N  n），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的 n 个房间各恰好进住 1 人的概率。分析：每人有 n 个房间可供选择，所以 n个人住的方式有Nn 种，指定的 n 个房间各有 1 人住，其可能总数为 n 人的全排列n！，于是 P= n!Nn。将纵向推广 2 推广到一般情况 2：将并排的 N 个房间安排给 n 个工作人员临时休息（N  n），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求恰好有 n 个房间，其中各住 1 人的概率。分析：每人有 N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式有Nn 种，题中的 n 个房间可以在 N 个房间中任意选取，其总数有CNn种，对选定的 n 个房间，按上述的分析可知有 n！种分配方式，所以恰有 n 个房间入住1人的概率为P=CNn⋅n!Nn=N !N n⋅(N−n)! 。注：这是一个古典概型中的一个很典型的“分房问题”，事实上不少实际问题多可以归结为它的模型。例如，若把人解释为质点，把房间解释为相应...