专题08三角形中的三角问题的探究【自主热身,归纳总结】1、在△ABC中,若9cos2A－4cos2B＝5,则的值为________．【答案】：【解析】：由题意得,9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5,即9sin2A＝4sin2B,所以＝＝.2、在△中,已知边上的中线,则的值为.【答案】：【解析】设为的中点,连接,则,且,设,在△中,由余弦定理可得,即,解得（舍去）,即,所以在△中,由余弦定理可得,即,又因为,所以由正弦定理,可得3、如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD＝30°,∠BDC＝120°,CD＝10m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB＝________m.【答案】：30【解析】：在△BCD中,由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中,AB＝BCtan60°＝30(m)．4、在△中,边的垂直平分线交边于,若,,,则△的面积为.【答案】：【解析】在△中,由余弦定理可得,即,解得或5,所以或12,所以△的面积为或.5、在锐角△中,角的对边分别为,,,且,为的中点,则的长为.【答案】：（方法2）由正弦定理可得,又由,可得,又由锐角△,可得,在△中,由余弦定理可得,即,,所以在△中,由余弦定理可得,即.6、在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若＋＝6cosC,则＋的值是________．【答案】：.4【解析】：由＋＝6cosC及余弦定理,得＋＝6×,化简得a2＋b2＝c2.又＋＝6cosC及正弦定理,得＋＝6cosC,故sinAsinBcosC＝(sin2B＋sin2A)．又＋＝＝,所以＋＝＝＝4.7、在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值为．【答案】：.【解析】由,得,由正弦定理可得,由余弦定理可得,化简得,又因为,当且仅当时等号成立,可得,所以的最大值为.8、已知在△中,,,为的中点,当最小时,△的面积为.（2）设的角所对的边分别为,若,,求面积的最大值.解：（1）由题意,得,当取最大值时,即,此时,所以的取值集合为.【关联2】、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若,．（1）求的值；（2）求函数的值域．【解析】：（1）因为,所以．由余弦定理得．因为,所以．（2）因为,所以,所以．因为,所以．因为又因为,所以,所以的值域为．易错警示第（2）问中易忽略的范围而出错．【关联3】、在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a＝(sinB－sinC,sinC－sinA),b＝(sinB＋sinC,sinA),且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b＝c·cosA,△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积．【解析】：(1)因为a⊥b,所以a·b＝0,即sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0,即sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B,由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2,所以cosB＝＝,因为B∈(0,π),所以B＝.(2)因为c·cosA＝b,所以＝,即b2＝c2－a2,又ac＝a2＋c2－b2,b＝2RsinB＝,解得a＝1,c＝2.(12分)所以S△ABC＝acsinB＝.例2、在△中,三个内角,,的对边分别为,设△的面积为,且.（1）求的大小；（2）设向量,,求的取值范围．（2）由向量,,得．由（1）知,所以,所以．所以．所以．所以．即取值范围是．【变式1】、在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列．(1)若BA·BC＝,b＝,求a＋c的值；(2)求2sinA－sinC的取值范围．【解析】：(1)因为A,B,C成等差数列,所以B＝.因为BA·BC＝,所以accosB＝,所以ac＝,即ac＝3.因为b＝,b2＝a2＋c2－2accosB,所以a2＋c2－ac＝3,即(a＋c)2－3ac＝3,所以(a＋c)2＝12,所以a＋c＝2.(2)2sinA－sinC＝2sin－sinC＝2－sinC＝cosC.因为0＜C＜,所以cosC∈.所以2sinA－sinC的取值范围是.【变式2】、在△ABC中,角,,所对的边分别为,,c．已知．（1）求角的大小；（2）设,求T的取值范围．【解析】（1）在△ABC中,,因为,所以,所以,因为,所以,因为,所以．（2）因为,所以,故,因此,所以．方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解,若对等式两边同时加1,再进行转化,更为便捷；第二问中可利用均值代换,不妨设,,求解,可简化求解过程．【关联1】、已知三个内角,,的对应边分别为,,,且,．当取得最大值时,的值为．【答案】【解析】：设（）,则,因为,,所以由正弦定理得：,所以,,,由得,从而当,即时,取最大值,此时,,所以。点评：为了研究,所以可以考虑以和的夹角为参数,并利用正弦定理将表示出来,特别是将用表示时,三角恒等变换是关键,然后求出时,取最大值,这时再取就不...
