（初升高）高一数学衔接班第3——讲因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲：1、知识回顾：（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）；（2）a2±2ab＋b2＝（a±b）22、新知探秘：如何将8＋分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式）a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）；a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）.两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。例1.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）（2）思路导航：（1）中，，（2）中解：（1）（2）点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。例2.因式分解：思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解；解：.仿练：思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现，可看作是或。解：点津：在进行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式。知识点二：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。1、分组后能提取公因式例3.把分解因式。思路导航：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提取公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式。解：点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试。例4.把分解因式。思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。解：点津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。2、分组后能直接运用公式例5.把分解因式。思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提取公因式后，另一个因式也是。解：仿练：把分解因式。思路导航：先将系数2提取后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。解：点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。知识点三：十字相乘法1、型的因式分解例6.分解因式：把下列各式分解因式：（1）（2）思路导航：利用上述公式解：（1）。（2）点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。例7.把下列各式分解因式：（1）（2）思路导航：利用上述公式解：（1）（2）点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。例8.把下列各式因式分解：（1）（2）思路导航：（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数。（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式。解：（1）（2）点津：“”换元的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会2、一般二次三项式的分解因式大家知道，。反过来，就可得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法...
