第22讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式夯实基础【p47】【学习目标】1．掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式；2．会应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式进行求值，化简，证明等．【基础检测】1．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α等于()A．－B．－C.D.【解析】 sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.【答案】A2．计算sin20°cos10°－cos160°sin370°＝________．【解析】由cos160°sin370°＝cos(180°－20°)·sin(360°＋10°)＝－cos20°sin10°，所以原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.【答案】3．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是()A．－B．±C．－1D．±1【解析】cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.【答案】C4.＝________．【解析】＝cos2－sin2＝cos＝.【答案】5．若锐角α，β满足tanα＋tanβ＝－tanαtanβ，则α＋β＝________．【解析】由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.【答案】【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β；cos(αβ)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β；tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.3．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.典例剖析【p47】考点1三角函数公式的基本应用(1)若α∈，tan＝，则sinα等于()A.B.C．－D．－【解析】(1) tan＝＝，∴tanα＝－＝，∴cosα＝－sinα.又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又 α∈，∴sinα＝.【答案】A(2)计算的值等于__________．【解析】由sin47°＝sin＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°知，原式＝＝.【答案】【点评】观察分析角和三角函数名称之间的关系，实现非特殊角向特殊角的转化是求解此类题的关键．(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2三角函数公式的逆用与变形用(1)设a＝cos2°－sin2°，b＝，c＝，则有()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解析】由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c＜a＜b.【答案】D(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－B.C.D．－【解析】由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.【答案】B【点评】(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．考点3三角函数公式的综合应用已知函数f(α)＝sinα(cosα－sinα)＋.(1)化简f(α)；(2)若α∈，f＝，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝sinαcosα－sinαsinα＋＝sin2α－×＋＝sin2α＋cos2α＝sin.(2) f＝－sinα＝，∴sinα＝－， α∈，∴cosα＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，∴f(α)＝sin2α＋cos2α＝.方法总结【p48】1．对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用．2．公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标．3．把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢固记忆三角公式的关键．走进高考【p48】1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝A.B.C．－D．－【解析】cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.【答案】B2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__________．【解析】因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以...
