第四章三角函数、平面向量与复数(八)(平面向量与复数)同步测试卷时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．复数＝()A．2－iB．2＋iC．3－4iD．3＋4i【解析】＝＝＝3＋4i.【答案】D2．设向量a＝(2，3)，a＋b＝(x，5)，c＝(－1，－1)，若b∥c，则实数x的值为()A．0B．4C．5D．6【解析】 a＝(2，3)，a＋b＝(x，5)，∴b＝(x－2，2)， c＝(－1，－1)，b∥c，∴b＝－2c，即x－2＝2，x＝4，故选B.【答案】B3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解析】因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0；又因为AB－AC＝CB，所以(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形．故选B.【答案】B4．设向量a＝(，1)，向量b＝(x，－3)，且a⊥b，则向量a－b与向量b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】因为a⊥b，所以a·b＝x－3＝0，解得x＝，所以a－b＝(0，4)．那么(a－b)·b＝－12，|a－b|＝4，|b|＝＝2，设向量a－b与b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝150°.【答案】D5．已知i为虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＝()A．－2020＋2019iB．－1010－1010iC．1010－1010iD．1010－1009i【解析】由复数的基本运算性质，可得i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n为自然数，设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020，两边同乘i可得：iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2020i2021，两式相减可得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2020－2020i2021＝－2020i＝－2020i＝－2020i，所以S＝＝＝1010－1010i，故选C.【答案】C6．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则λ的值为()A.B.C.D.【解析】 OP和OC共线，∴存在实数m，使OP＝mOC＝mμOA＋3mμOB，∴AP＝OP－OA＝mμOA＋3mμOB－OA＝(mμ－1)OA＋3mμOB＝－λOA＋λOB，∴解得λ＝.故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．如果复数(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i是纯虚数，则实数m的值为________．【解析】根据纯虚数的概念可知m2－3m＝0，解得m＝0或m＝3，当m＝3时，m2－5m＋6＝0，此时不再是纯虚数，所以m＝0.【答案】08．已知向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝1，|a＋b|＝，则a，b的夹角为________．【解析】由题得|a|＝＝2，因为|a＋b|＝，所以a2＋2a·b＋b2＝3，∴4＋1＋2·2×1×cosα＝3，∴cosα＝－，∴α＝.【答案】9．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是________．【解析】 |z|＝1且z∈C，作图如下： |z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，∴|z－2－2i|的最小值为：|OP|－1＝2－1.【答案】2－110．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为a，点G为CD的中点，则AE·GF＝________．【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系，则AD＝2a，则A(－a，0)，D(a，0)，F，E，B，C，又由点G为CD的中点，则G，则有AE＝，GF＝，则AE·GF＝×＋×＝－a2.【答案】－a2三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)设复数z＝a＋i(i是虚数单位，a∈R，a>0)，且＝.(1)求复数z；(2)在复平面内，若复数z＋在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．【解析】(1) z＝a＋i,＝，∴＝＝，即a2＝9，解得a＝±3，又 a>0，∴a＝3,∴z＝3＋i.(2) z＝3＋i，则z＝3－i，∴z＋＝3－i＋＝＋i，又 复数z＋(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，∴得∴－5＜m＜1.12．(13分)已知向量a＝，b＝(1，cosθ)．(1)若a⊥b，求的值；(2)求|a＋b|的最大值．【解析】(1) a⊥b，a·b＝sinθ＋cosθ＝0，∴tanθ＝－，＝＝＝－6.(2) a＋b＝，∴|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝(sinθ＋1)2＋＝＋4＝＋4sin， 从而|a＋b|＝，∴|a＋b|max＝.13．(14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC＝OA＋OB.(1)求证：A，B，C三点共线，并求...
