一、选择题1．(2012·绵阳质检)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.解析：选D.由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.2．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是()A.B.C.D.解析：选B.依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于＝.3．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2＜0的一个解的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7解析：选D.由已知得2＋a－a2＜0，∴a＞2或a＜－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2＜0的一个解．故所求概率为P＝＝＝0.7.4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为()A.B.C.D.解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝，故选B.5．(2012·石家庄质检)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是()A.B.C.D.解析：选C.设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由确定的平面区域，如图所示阴影部分的面积是1－×2＝，所以两个数之和小于的概率是.二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中随机取一点，则该点落在四棱锥O－ABCD(O为正方体对角线的交点)内的概率是________．解析：所求概率即为四棱锥O－ABCD与正方体的体积之比．答案：7．在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为________．解析：设AM＝x，则0≤x≤18.由x2∈[36,81]得x∈[6,9]，故所求概率为＝.答案：8．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为________．解析：D为直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝1围成的正方形区域，而由≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)知d为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为＝.答案：三、解答题9．如右图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.所求弦长不超过1的概率为1－.10．设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P(M)＝＝＝.(2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N)＝＝.11．(2012·贵阳调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.基本事件空间为Ω＝，B＝，则P(B)＝＝＝，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
