一、选择题1.(2012·绵阳质检)已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.解析:选D.由题意可知,点P位于BC边的中线的中点处.记黄豆落在△PBC内为事件D,则P(D)==.2.用一平面截一半径为5的球得到一个圆面,则此圆面积小于9π的概率是()A.B.C.D.解析:选B.依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3,球心到该截面的距离等于4,球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4,因此所求的概率等于=.3.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,则恰好使1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析:选D.由已知得2+a-a2<0,∴a>2或a<-1.故当a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解.故所求概率为P===0.7.4.若在区间[-5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为()A.B.C.D.解析:选B.若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d==≤,解得-1≤a≤3.又a∈[-5,5],故所求概率为=,故选B.5.(2012·石家庄质检)在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于的概率是()A.B.C.D.解析:选C.设这两个数是x,y,则试验所有的基本事件构成的区域是确定的平面区域,所求事件包含的基本事件是由确定的平面区域,如图所示阴影部分的面积是1-×2=,所以两个数之和小于的概率是.二、填空题6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中随机取一点,则该点落在四棱锥O-ABCD(O为正方体对角线的交点)内的概率是________.解析:所求概率即为四棱锥O-ABCD与正方体的体积之比.答案:7.在长为18cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为________.解析:设AM=x,则0≤x≤18.由x2∈[36,81]得x∈[6,9],故所求概率为=.答案:8.在区间[0,1]上随意选择两个实数x,y,则使≤1成立的概率为________.解析:D为直线x=0,x=1,y=0,y=1围成的正方形区域,而由≤1,即x2+y2≤1(x≥0,y≥0)知d为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆),故所求概率为=.答案:三、解答题9.如右图所示,在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.解:弦长不超过1,即|OQ|≥,而Q点在直径AB上是随机的,事件A={弦长超过1}.由几何概型的概率公式得P(A)==.∴弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-.所求弦长不超过1的概率为1-.10.设不等式组表示的区域为A,不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B的概率;(2)若x,y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B中的概率.解:(1)设集合A中的点(x,y)∈B为事件M,区域A的面积为S1=36,区域B的面积为S2=18,∴P(M)===.(2)设点(x,y)在区域B为事件N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x,y)的个数为36,其中在区域B中的点(x,y)有21个,故P(N)==.11.(2012·贵阳调研)已知向量a=(2,1),b=(x,y).(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率;(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.解:(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.基本事件空间为Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含12个基本事件;其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.则P(A)==,即向量a∥b的概率为.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件空间为Ω=,B=,则P(B)===,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.