[练案54]第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(D)A．k>4B．k＝4C．k<4D．0b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所球椭圆方程为＋＝1.3．(2020·河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(B)A．B．12C．16(2＋)D．16(2－)[解析] 椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×(2×3)×4＝12，故选B.4．(2020·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A．＋＝1B．＋y2＝1C.＋＝1D．＋＝1[解析]由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(D)A．B．C．D．[解析]如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.6．(2020·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(D)A．B．C．D．[解析]设P(x0，y0)，则×＝－，化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D.7．(2019·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A．B．C．D．[解析]直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒(c)2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝，故选A.8．(2019·辽宁省大连市模拟)过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为(D)A．12B．14C．16D．18[解析]设椭圆另一个焦点为F′，则|PF|＝|F′Q|，∴|PF|＋|FQ|＝|F′Q|＋|FQ|＝2a＝10，又|PQ|＝2|OQ|≥8(当Q为短轴端点时取等号)∴△PFQ周长的最小值为8.故选D.9．(2019·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为(C)A．2B．3C．6D．8[解析]设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又因为点F(－1,0)，所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(OP·FP)max＝6.10．(2019·南昌二模)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B)A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋x＝1，＋x＝1，两式相减得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝＝－9，∴直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0，故选B.二、多选题11．(2020·山东济宁期末)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(BC)A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为[解析]依题意可得c＝＝，则C的焦距为2，e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝(x＋)2＋≥>，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为－＝，故选BC.12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(ABD)A．a1＋c1>2(a2＋c2)B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1D．e1＝[解析]由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，...
