[练案60]第三课时定点、定值、探索性问题A组基础巩固一、单选题1．(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率，则双曲线－＝1的离心率为(D)A．2B．C．D．[解析]椭圆离心率e1＝＝，∴e＝1－＝，即＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.故选D.2．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝(A)A．4B．2C．2D．3[解析]设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简得3a＋a＝4c2，两边同除以c2，得＋＝4.故选A.3．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(A)A．(－3,0)B．(0，－3)C．(3,0)D．(0,3)[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．4．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(A)A．1B．2C．4D．[解析]如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.5．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为，则椭圆C的离心率是(B)A．B．C．D．[解析]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减可得＋＝0，即＝－·. 线段MN中点的纵坐标为，∴2x－3×－1＝0，解得x＝，于是－＝－·，解得＝，∴椭圆C的离心率e＝＝，故选B.(或直接利用性质kMN·kOP)＝－，其中P为线段MN的中点)．6．(2020·福建莆田质检)已知直线l过抛物线C：x2＝6y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若AF＝FP，则|AB|＝(A)A．8B．9C．11D．16[解析]过A作准线的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AH|，又AF＝FP，∴|AH|＝|AP|，∴kAP＝，又F(0，)，∴AB的方程为y＝x＋，由，得y2－5y＋＝0，∴yA＋yB＝5，∴|AB|＝yA＋yB＋p＝5＋3＝8，故选A.7．(2020·广东惠州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是(D)A．[1,2]B．[，]C．[，4]D．[1,4][解析]由已知得2b＝2，故b＝1， △F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝，∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4.即＋的取值范围为[1,4]．故选D.二、多选题8．已知双曲线C上的点到(2,0)和(－2,0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是(AC)A．C的标准方程为x2－＝1B．C的渐近线方程为y＝±2xC．C的焦点到渐近线的距离为D．圆x2＋y2＝4与C恰有两个公共点[解析]根据双曲线的定义，c＝2,2a＝2，得a＝1，b＝，所以C的方程为x2－＝1，A正确；渐近线为y＝±x，B错；双曲线C的一个焦点为(2,0)，到渐近线的距离为＝，C正确；圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点为(±1,0)，可知圆与双曲线的公共点有4个，D错误．9．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(BCD)A．＋＝1B．|AF|＝6C．|BD|＝2|BF|D．F为AD的中点[解析]由题意知直线l的方程为y＝(x－)，由得3x2－5px＋＝0，∴x1＋x2＝，∴|AB|＝＋p＝＝8，∴p＝3.∴4x2－20x＋9＝0解得xA＝，xB＝，∴|AF|＝xA＋＝6，|BF|＝2，∴＋＝，A...
