专题24正弦定理与余弦定理的应用一、【知识精讲】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.[微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.二、【典例精练】考点一求距离、高度问题角度1测量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【答案】100【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m).【解法小结】1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.角度2测量距离问题【例1－2】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解析】在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋2×CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝km(负值舍去)，BC＝BD＋CD＝km，两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而<＝＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.【解法小结】1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考点二测量角度问题【例2】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于________．【答案】【解析】依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝.【解法小结】1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-√714,sin∠CBA=√216,求BC的长.【解析】(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=7+1-42√7=2√77.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=2√77,cos∠BAD=-√71...
