课后作业(二十)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．(2013·济南模拟)＝()A.B.C．2D.2．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于()A.B.C.D.3．(2013·长沙模拟)若＝－，则cosα＋sinα的值为()A．－B．－C.D.4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan(＋α)等于()A．7B．－7C.D．－5．(2013·泉州模拟)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝()A．－B．－C.D.6．(2013·嘉兴模拟)若0＜α＜，－＜β＜0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝()A.B．－C.D．－二、填空题7．(2013·南京模拟)已知tan(x＋)＝2，则的值为________．8．已知sin(θ＋)＝，θ∈(，π)，则cosθ＝________．9．(2013·苏北四市模拟)若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________．三、解答题10．已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.(1)求f()的值；(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．11．(2013·黄冈模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式；(2)若α∈(－，)，f(α＋)＝，求sin(2α＋)的值．12．已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.解析及答案一、选择题1．【解析】原式＝＝＝2.【答案】C2．【解析】由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－，又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，又0＜C＜π，∴C＝.【答案】A3．【解析】＝＝＝－(sinα＋cosα)＝－.∴sinα＋cosα＝.【答案】C4．【解析】∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，∴cosα＝－.又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.∴tan(＋α)＝＝＝.【答案】C5．【解析】∵sin(＋θ)＝，∴cos(＋2θ)＝1－2sin2(＋θ)＝1－＝，又cos(＋2θ)＝－sin2θ，∴－sin2θ＝，即sin2θ＝－.【答案】A6．【解析】∵0＜α＜，∴＜＋α＜π，所以由cos(＋α)＝，得sin(＋α)＝，又－＜β＜0，且cos(－)＝，则＜－＜，∴sin(－)＝，故cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)＝.【答案】C二、填空题7．【解析】由tan(x＋)＝2得＝2，∴tanx＝，∴＝＝＝(1－)＝.【答案】8．【解析】∵θ∈(，π)，∴θ＋∈(，π)，由sin(θ＋)＝知cos(θ＋)＝－，∴cosθ＝cos[(θ＋)－]＝－×＋×＝.【答案】9．【解析】由已知得∴，∴tanα·tanβ＝＝.【答案】三、解答题10．【解】(1)f()＝2sin(×－)＝2sin＝.(2)f(3α＋)＝2sin[((3α＋)－)]＝2sinα＝，∴sinα＝，f(3β＋2π)＝2sin[(3β＋2π)－]＝2sin(β＋)＝2cosβ＝，∴cosβ＝.∵α，β∈[0，]，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.11．【解】(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f(x)为偶函数，所以φ＝，则f(x)＝sin(x＋)＝cosx.(2)因为cos(α＋)＝，又α＋∈(0，)，所以sin(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.12．【解】(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)＝sin(x－)＋sin(x－)＝2sin(x－)．∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明∵cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－.∴cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.由(1)知f(x)＝2sin(x－)，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝4×()2－2＝0.
