突破点3平面向量(对应学生用书第167页)提炼1平面向量共线、垂直的两个充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.提炼2数量积常见的三种应用已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的长度：|a|＝＝.(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝＝.提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且λ＋μ＝1.(2)C是线段AB中点的充要条件是OC＝(OA＋OB)．(3)G是△ABC的重心的充要条件为GA＋GB＋GC＝0，若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为(，).(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC⇔P为△ABC的垂心．(5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ＝，向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ＝.回访1平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－ACA[ BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.[ λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得]回访2平面向量的数量积3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2D[由已知条件得BD·CD＝BD·BA＝a·acos30°＝a2，故选D.]4．(2014·山东高考)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．[已知A＝，由题意得|AB||AC|cos＝tan，|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB||AC|sin＝××＝.](对应学生用书第167页)热点题型1平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等.(1)(2016·深圳二模)如图31，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝()图31A.B.C.D．2(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.(1)B(2)B[(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以AC＝(2,2)，AM＝(2,1)，BD＝(－2,2)．由AC＝λAM＋μBD，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得所以λ＋μ＝，故选B.法二：因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ＋μ(－AB＋AD)＝(λ－μ)AB＋AD，所以得所以λ＋μ＝，故选B.(2)如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选B.]1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．[变式训练1](1)(2015·山东高考)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________.(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，则＝__________.【导学号：67722017】(1)(2)－2[(1)如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝2，又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝.∠APB＝60°，故PA·PB＝××cos60°＝.(2) a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则解得＝－2.]热点题型2三角与向量的综合问题题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函...
