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高考数学二轮复习 每日一题规范练(第三周)理-人教版高三数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 每日一题规范练(第三周)理-人教版高三数学试题_第1页
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每日一题规范练(第三周)[题目1](本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{an},满足a1=1,且-=.(1)求等比数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列的前n项和为Tn.解:(1)由已知-=,得-=,即1-=,解得q=2或q=-1(舍去),因此数列{an}的通项公式an=2n-1.(2)由题意得bn=log2an+1=log22n=n,=,所以Tn=+++…+,①Tn=+++…+,②由①-②,得Tn=1+++…+-=-=2-,所以Tn=4-.[题目2](本小题满分12分)如图,△ABC为正三角形,AC∥DB,AC=2,cos∠ACD=.(1)求CD的长;(2)求△ABD的面积.解:(1)因为△ABC为正三角形,AC∥DB,所以∠ACD=∠BDC,∠BAC=∠ABD=,所以cos∠ACD=cos∠BDC=,所以sin∠BDC==.在△BCD中,BC=2,∠CBD=,sin∠BDC=,由正弦定理得,=,所以CD=3.(2)在△BCD中,BC=2,CD=3,∠CBD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠CBD,则32=22+BD2-4BD×,解得BD=-1.所以△ABD的面积为S=BD·AB·sin=×(-1)×2×=.[题目3](本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCDEF中,AE与BD相交于点O,C在平面ABED内的射影为O,G为CF的中点.(1)求证:平面ABED⊥平面GED;(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角ACEB的余弦值.(1)证明:取DE中点M,在三角形BDE中,OM∥BE,OM=BE.又因为G为CF中点,所以CG∥BE,CG=BE.所以CG∥OM,CG=OM.所以四边形OMGC为平行四边形.所以MG∥OC.因为点C在平面ABED内的射影为O,所以OC⊥平面ABED,从而MG⊥平面ABED.又因为GM⊂平面GED,所以平面ABED⊥平面GED.(2)解:因为CO⊥平面ABED,所以CO⊥AO,CO⊥OB.又AB=BE,则四边形ABED为菱形,所以OB⊥AO.以O为坐标原点,OA,OB,OC的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,于是A(,0,0),B(0,1,0),E(-,0,0),C(0,0,),向量BE=(-,-1,0),向量BC=(0,-1,),设平面BCE的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则,即不妨令z1=1,则y1=,x1=-1,取法向量m=(-1,,1).又n=(0,1,0)为平面ACE的一个法向量.设二面角ACEB大小为θ,显然θ为锐角,于是cosθ=|cos〈m,n〉|===,故二面角ACEB的余弦值为.[题目4](本小题满分12分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查,派出10人的调查组,先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查,然后打分(满分100分),他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示:(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”,请说明理由;(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个,在已知大于80分的条件下,求抽到乙城市的分数都小于80的概率;(3)从对乙城市的打分中任取2个,设这2个分数中不小于80分的个数为X,求X的分布列和期望.(参考数据:162+142+122+52+32+72+82+162+192)=1360,142+112+32+22+12+22+32+62+72+132=598)解:(1)由茎叶图,设甲、乙两班10名同学成绩的平均数分别为x甲,x乙,则x甲==79.x乙==79.S=(162+142+122+52+32+02+72+82+162+192)=136.S=(142+112+32+22+12+22+32+62+72+132)=59.8.因此x甲=x乙,S>S.上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同,甲城市打分的方差比乙城市的大,说明评委对乙城市的打分较一致,乙城市应该入围.(2)由茎叶图可得,分数在80分以上的甲城市有4个,乙城市有5个.设事件A=“甲、乙两个城市的打分中,各抽取2个,有大于80分的分数”,事件B=“甲、乙两个城市的打分中,各抽取2个,乙城市的分数都小于80分”,则P(B|A)=,因为P(A·B)=×=,P(A)=1-P(A)=1-=.所以P(B|A)==.(3)由题可知X取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(x=2)==.所以X的分布列为X012PE(X)=0×+1×+2×=1.[题目5](本小题满分12分)已知函数f(x)=(2x-1)ex-a(x2+x),a∈R.(1)当a<e-时,讨论函数f(x)的单调性;(2)设g(x)=-ax2-a,若对任意的x≤1时,恒有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=(2x+1)ex-a(2x+1)=(2x+1)(ex-a).若a≤0时,ex-a>0,当x∈时,f′(x)<...

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