每日一题规范练(第三周)[题目1](本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{an}，满足a1＝1，且－＝.(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列的前n项和为Tn.解：(1)由已知－＝，得－＝，即1－＝，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此数列{an}的通项公式an＝2n－1.(2)由题意得bn＝log2an＋1＝log22n＝n，＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②由①－②，得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以Tn＝4－.[题目2](本小题满分12分)如图，△ABC为正三角形，AC∥DB，AC＝2，cos∠ACD＝.(1)求CD的长；(2)求△ABD的面积．解：(1)因为△ABC为正三角形，AC∥DB，所以∠ACD＝∠BDC，∠BAC＝∠ABD＝，所以cos∠ACD＝cos∠BDC＝，所以sin∠BDC＝＝.在△BCD中，BC＝2，∠CBD＝，sin∠BDC＝，由正弦定理得，＝，所以CD＝3.(2)在△BCD中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝，由余弦定理，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠CBD，则32＝22＋BD2－4BD×，解得BD＝－1.所以△ABD的面积为S＝BD·AB·sin＝×(－1)×2×＝.[题目3](本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCDEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点．(1)求证：平面ABED⊥平面GED；(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角ACEB的余弦值．(1)证明：取DE中点M，在三角形BDE中，OM∥BE，OM＝BE.又因为G为CF中点，所以CG∥BE，CG＝BE.所以CG∥OM，CG＝OM.所以四边形OMGC为平行四边形．所以MG∥OC.因为点C在平面ABED内的射影为O，所以OC⊥平面ABED，从而MG⊥平面ABED.又因为GM⊂平面GED，所以平面ABED⊥平面GED.(2)解：因为CO⊥平面ABED，所以CO⊥AO，CO⊥OB.又AB＝BE，则四边形ABED为菱形，所以OB⊥AO.以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，于是A(，0，0)，B(0，1，0)，E(－，0，0)，C(0，0，)，向量BE＝(－，－1，0)，向量BC＝(0，－1，)，设平面BCE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则，即不妨令z1＝1，则y1＝，x1＝－1，取法向量m＝(－1，，1)．又n＝(0，1，0)为平面ACE的一个法向量．设二面角ACEB大小为θ，显然θ为锐角，于是cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，故二面角ACEB的余弦值为.[题目4](本小题满分12分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望．(参考数据：162＋142＋122＋52＋32＋72＋82＋162＋192)＝1360，142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132＝598)解：(1)由茎叶图，设甲、乙两班10名同学成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲＝＝79.x乙＝＝79.S＝(162＋142＋122＋52＋32＋02＋72＋82＋162＋192)＝136.S＝(142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132)＝59.8.因此x甲＝x乙，S＞S.上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同，甲城市打分的方差比乙城市的大，说明评委对乙城市的打分较一致，乙城市应该入围．(2)由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．设事件A＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，则P(B|A)＝，因为P(A·B)＝×＝，P(A)＝1－P(A)＝1－＝.所以P(B|A)＝＝.(3)由题可知X取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(x＝2)＝＝.所以X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝1.[题目5](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2x－1)ex－a(x2＋x)，a∈R.(1)当a＜e－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝－ax2－a，若对任意的x≤1时，恒有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(2x＋1)ex－a(2x＋1)＝(2x＋1)(ex－a)．若a≤0时，ex－a＞0，当x∈时，f′(x)＜...
