1实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。.A所有系数为有理数的多项式集合；.B[0,1]中的无理数集合；.C单调函数的不连续点所成集合；.D以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设E是可测集，A是不可测集，0mE，则EAU是（）.A可测集且测度为零；.B可测集但测度未必为零；.C不可测集；.D以上都不对。3、下列说法正确的是（）.A()fx在[,]abL—可积()fx在[,]abL—可积；.B()fx在[,]abR—可积()fx在[,]abR—可积；.C()fx在[,]abL—可积()fx在[,]abR—可积；.D()fx在,aR—广义可积()fx在[,]abL—可积4、设{}nE是一列可测集，12......,nEEE则有（）.A1()limnnnnmEmEU；.B1()limnnnnmEmEU；.C1()limnnnnmEmEI；.D以上都不对。5、ABCABCU成立的充分必要条件是（）.AAB；.BBA；.CAC；.DCA。6、设E是闭区间0,1中的无理点集，则（）.A1mE；.B0mE；.CE是不可测集；.DE是闭集。7、设mE，nfx是E上几乎处处有限的可测函数列，fx是E上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛于fx是nfx依测度收敛于fx的（）2.A必要条件；.B充分条件；.C充分必要条件；.D无关条件。8、设fx是E上的可测函数，则（）.Afx是E上的连续函数；.Bfx是E上的勒贝格可积函数；.Cfx是E上的简单函数；.Dfx可表示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设nER，0nxR，如果0x的任何邻域中都含有E的点，则称0x是E的聚点。2、设nER，若E是有界点集，则E至少有一个聚点。3、设fx是E上的可测函数，0mA，则fx是EAU上的函数。4、设在E上，nfx依测度收敛于fx，则存在nfx的子列knfx，使得在E上，knfx敛于fx。5、设设1[1,2],(1,2,...)nAnn,则limnnA________________。6设P是Cantor集，[0,1]GP，则mG___________。7、写出一个(0,1)与(,)之间一一对应关系式___________________。8.设2,,xexfxxx是有理数是无理数，则01()Lfxdx，。9、设E是[0,1][0,1]中有理数全体，则E的闭包E为_____________。10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。三、判断题。1、2R与3R的势是不等的。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()2、设mE，{()}nfx为E上一列.ae有限的可测函数，若在E上{()}nfx.ae收敛于.ae有限的可测函数()fx，则{()}nfx在E上依测度收敛于()fx。⋯⋯⋯⋯()3、若{()},1,lim()(),PpnnnfxLpfxfxL则lim0npnff。⋯⋯⋯⋯⋯()34、设()fx在(0,)上R可积,则()fx在(0,)上必L可积。⋯⋯⋯⋯⋯⋯()5、若P不是E的聚点，则P是E的孤立点。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()6、设0mE，则对E上的任何实值函数()fx都有()0Efxdx。⋯⋯⋯⋯⋯⋯()7、设f在qER上可测，则由f在E上可积可以推出f在E上可积，但反之不对。⋯()8、若{}nf为E上非负单调可测函数列，且lim()()nnfxfx，则lim()()nEEnfxdxfxdx。⋯()四、计算题与证明题1、证明：若AB，BBC:U，则AAC:U。2、设fx是1R上的实值连续函数，a是任意给定的实数，证明Gxfxa是开集。3、设1E，2E都是可测集，试证：121212mEmEmEEmEEUI。4、设在可测集E上，nfxfx，且1.nnfxfxae于1,2,EnLL，试证明：lim..nnfxfxae于E.5、设nfxfx,nfxgx,则)()(xgxf在E上几乎处处成立.46、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算2201lim(1)nnnxdxx。8、若111,,0,,rpqrpq且有关函数的积分存在，证明：rpqfgfg。答案一．选择题1．B2．C3．A4.B5.D6.A7.B8.D二．填空题1.无穷多个2.无穷3.可测4.几乎处处收敛5.[1,2]6.17.yctgx8.139.[0,1][0,1]10.有限个或可列个构成区间三、判断题1．×2.√3.×4.×5.×6.√7、×8.×四、证明与计算1.证明：根据集合的性质有：AABCABCUUIUACABCBCUUUU并且集合ABCU与ABCIU，ABCU与BCU是不相交的。由于BA，因此BABCBCIUU，由题设BBC:U可知ABCBCIU:U，5于是AAC:U。2、设/0xA，则存在A中的互异点列nx，使得0nxx，因fx连续，所以0limnnfxfx，而,1,2,nfxanLL，由极限的保号性，0fxa，因此0xA，故A是闭集。由于GA，故G是开集。3、证明：由于1E，2E都是可测集，根据可测集的性质，12EEU和12EEI都是可测集。如果1mE和2mE中至少有一个为，则结论显然成立。设1mE，2mE。根据集合的性质可知1211221212EEEEEEEEEEUIUIUI而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可...
