1如何在中学数学中进行极限教学1引言极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，是学习高等数学的基础，是数学由具体走向抽象的桥梁，它的出现使数学发生了一次革命性的变化．微积分中许多重要概念，如函数的连续性、导数、微分、积分以及无穷级数的收敛性等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点．极限作为高中数学的一个重要部分，在联系初等数学与高等数学方面起着举足轻重的作用．但由于极限定义的逻辑结构相当复杂，概念抽象，它所蕴涵的思想往往不能被学生很好的理解和接受．本文就此问题并在前人研究的基础上进行归纳总结，以便使学生深刻认识极限的本质，领会极限思想，培养学生抽象思维能力和辩证分析能力，为进一步学习高等数学打下基础．2背景介绍2.1历史背景极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载．例如，3世纪中国数学家刘徽的“割圆术”，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的．古希腊人也发现了这种思想，把它命名为“穷竭法”，阿基米德运用它证明了球的体积和球面面积公式．极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．牛顿意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础．但他的极限观念是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严密表述．到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔是这样表述的：“称一个量是另一个量的极限，如果第二个量能够比任意给定的，无论怎样小的量都更加接近第一个量的话，同时这个近似着的量永远也不能够超越它去近似的那个量”481P．到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值．”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小491P．2后来，魏尔斯特拉斯提出了极限的静态定义，给微积分提供了严格的理论基础．所谓Aannlim，就是指：“如果对任何0，总存在自然数N，使得当Nn时，不等式Aan恒成立．”这个定义，借助不等式，通过和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系．因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，从而得到数学界的一致公认．2.2现实背景极限是数学中极其重要的概念之一，极限思想是人们认识数学世界、解决数学问题的重要武器，它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了由有限到无限、近似到准确、量变到质变的辩证思想．在中小学数学教材中，有多处内容都渗透了极限思想．比如：循环小数化分数要用到极限运算，圆面积、球的表面积和体积公式的推导，双曲线的渐近线，曲线的切线，无穷递缩等比数列的求和等等．应用极限思想解题在很大程度上避免了复杂烦琐的计算，同时对于培养学生从运动变化的观点看待问题，以及培养辩证唯物主义思想是非常有利的．但是，极限是中学生第一次接触到的动态的数学概念，它所蕴涵的思想标志着数学思维向更高一级的层次发展，对此学生存在着一定的学习困难．表现在以下几个方面：对“无限”没有全面准确的认识，将定义中的“无限趋近”想当然地理解为永远不能达到或不能超过；对极限概念的感知不够充分，不能在由具体向抽象过渡的过程中感悟极限的本质；极限用有限的形式表示了无穷的过程，并得到了一个有限值，体现了有限与无限的对立与统一，学生从哲学角度理解这种辩证思想也有一定的困难．3回顾教材孕育极限思想极限定义中的“无限趋近”是教学的重点和难点，使学生树立无限...
