第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系1.如图，直线AB、ADα，直线CB、CDβ，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA.若直线EH∩直线FG＝M，则点M在________上．答案：直线BD(或α、β的交线)解析：根据平面的基本性质知点M在直线BD(或α、β的交线)上．2.直线a及不在直线a上的不共线三点，可以确定平面的个数是__________．答案：1个、3个或4个解析：先考虑平面最多的情形，再考虑它们可能重合的情况．3.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．答案：24解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．4.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中下列结论正确的是________．(填序号)①AB∥CD；②AB与CD相交；③AB⊥CD；④AB与CD所成的角为60°.答案：④解析：如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见①②③不正确．图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.④正确．5.已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b________．(填序号)①一定是异面直线；②一定是相交直线；③不可能是平行直线；④不可能是相交直线．答案：③解析：如图所示，图(1)中，b与c相交，图(2)中b与c异面，假如b∥c， a∥c，∴a∥b这与a，b异面矛盾，∴b与c不可能为平行直线．6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知P、Q分别是AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面的形状是__________．答案：菱形解析：先证截面BPD1Q是平行四边形，再证是菱形．7.如图，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案：②④解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．8.如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于点O，O在平面ABC和平面A′B′C′之间，且＝＝＝，则＝__________．答案：解析：由题设条件知＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′.∴＝.9.如图所示，O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．证明： A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C. A1C∩平面B1D1A＝M，A1C平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：EFGH为平行四边形．证明： 梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. G、H分别为AD′、BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，∴GH∥EF且GH＝EF，∴EFGH为平行四边形．11.已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝2∶3，求证：直线EF、BD、HG交于一点．证明：连结EH、AC、FG. E、H分别为BC、AB的中点，∴EH＝AC，且EH∥AC. DF∶FC＝2∶3，DG∶GA＝2∶3，∴FG∥AC，FG＝AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G、H四点共面且EF与GH不平行．∴EF与GH相交．设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF， GH平面ABD，EF平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∴平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，∴直线EF、BD、HG交于一点．第2课时直线与平面的位置关系(1)1.过直线l外两点，作与l平行...
