2.1.2求曲线的方程双基达标限时20分钟1．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是()．A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3解析设P(x，y)，由题设得＝3，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.答案B2．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是()．A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．答案B3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()．A．πB．4πC．8πD．9π解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.答案B4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是________．解析由截距式可得直线为＋＝1⇒线段方程为x＋y－5＝0(0≤x≤5)．答案x＋y－5＝0(0≤x≤5)5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．解析由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝06．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程．解由点B与点A(－1，1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．综合提高（限时25分钟）7．已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是()．A．y＝0(－1≤x≤1)B．y＝0(x≥1)C．y＝0(x≤－1)D．y＝0(|x|≥1)解析由题意可知，|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)．答案C8．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)D．x2＋y2＝9(x≠0)解析易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.所以选C.答案C9．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．解析可设动点坐标为(x，y)，则＝1，即|4x＋3y－5|＝5.∴所求轨迹为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.答案4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝010．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析设点B(x0，y0)，则y0＝2x02＋1.①设线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝.即x0＝2x，y0＝2y＋1，代入①式，得2y＋1＝2·(2x)2＋1.即y＝4x2为线段AB中点的轨迹方程．答案y＝4x211．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．解设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，∵AB⊥CH，∴kAB·kCH＝－1，即·＝－1(x≠±3)．化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．x＝±3，y＝0时也适合此方程，所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或y＝x2－3.12．(创新拓展)已知两点M(－1，0)，N(1，0)，动点P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差大于零的等差数列，求动点P的轨迹方程．解设动点P(x，y)，由已知M(－1，0)，N(1，0)．∴MP＝(x＋1，y)，MN＝(2，0)，∴NM＝(－2，0)，PM＝(－x－1，－y)，PN＝(1－x，－y)．∴NP＝(x－1，y)．∴MP·MN＝2(x＋1)，PM·PN＝(－x－1)(1－x)＋(－y)2＝x2＋y2－1.NM·NP＝－2(x－1)．依题意有：化简得：x2＋y2＝3且x<0.所以动点P的轨迹方程是x2＋y2＝3(x<0)．
