2.1.2求曲线的方程双基达标限时20分钟1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是().A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3解析设P(x,y),由题设得=3,∴(x-1)2+(y+2)2=9.答案B2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是().A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点解析注意当点C与A、B共线时,不符合题意,应去掉.答案B3.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于().A.πB.4πC.8πD.9π解析设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,故S=4π.答案B4.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是________.解析由截距式可得直线为+=1⇒线段方程为x+y-5=0(0≤x≤5).答案x+y-5=0(0≤x≤5)5.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是________.解析由两点式,得直线AB的方程是=,即4x-3y+4=0,线段AB的长度|AB|==5.设C的坐标为(x,y),则×5×=10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.答案4x-3y-16=0或4x-3y+24=06.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.求动点P的轨迹方程.解由点B与点A(-1,1)关于原点对称,得点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4,且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).综合提高(限时25分钟)7.已知A(1,0),B(-1,0),动点M满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是().A.y=0(-1≤x≤1)B.y=0(x≥1)C.y=0(x≤-1)D.y=0(|x|≥1)解析由题意可知,|AB|=2,则点M的轨迹方程为射线y=0(x≤-1).答案C8.在△ABC中,若B、C的坐标分别是(-2,0)、(2,0),中线AD的长度是3,则A点的轨迹方程是().A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)解析易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A、B、C三点不共线,所以y≠0.所以选C.答案C9.到直线4x+3y-5=0的距离为1的点的轨迹方程为________.解析可设动点坐标为(x,y),则=1,即|4x+3y-5|=5.∴所求轨迹为4x+3y-10=0和4x+3y=0.答案4x+3y-10=0和4x+3y=010.已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是________.解析设点B(x0,y0),则y0=2x02+1.①设线段AB中点为M(x,y),则x=,y=.即x0=2x,y0=2y+1,代入①式,得2y+1=2·(2x)2+1.即y=4x2为线段AB中点的轨迹方程.答案y=4x211.已知B(-3,0)、C(3,0),△ABC中BC边上的高的长为3,求△ABC的垂心H的轨迹方程.解设H的坐标为(x,y),则A点的坐标为(x,3)或(x,-3),当A的坐标为(x,3)时,∵AB⊥CH,∴kAB·kCH=-1,即·=-1(x≠±3).化简,整理,得y=-x2+3(x≠±3).x=±3,y=0时也适合此方程,所以方程y=-x2+3为所求轨迹方程.当A的坐标为(x,-3)时,同理可得H的轨迹方程为y=x2-3.总之,△ABC的垂心H的轨迹方程是y=-x2+3或y=x2-3.12.(创新拓展)已知两点M(-1,0),N(1,0),动点P使MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差大于零的等差数列,求动点P的轨迹方程.解设动点P(x,y),由已知M(-1,0),N(1,0).∴MP=(x+1,y),MN=(2,0),∴NM=(-2,0),PM=(-x-1,-y),PN=(1-x,-y).∴NP=(x-1,y).∴MP·MN=2(x+1),PM·PN=(-x-1)(1-x)+(-y)2=x2+y2-1.NM·NP=-2(x-1).依题意有:化简得:x2+y2=3且x<0.所以动点P的轨迹方程是x2+y2=3(x<0).