高三数学 经典例题精解分析 2-4-1 抛物线及其标准方程VIP免费

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程双基达标限时20分钟1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()．A．(2，0)B．(－2，0)C．(4，0)D．(－4，0)解析依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得＝2，故焦点坐标为(－2，0)，故选B.答案B2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析设P(xP，yP)， 点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，故选C.答案C3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()．A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案A4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案65．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.答案－16．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是y＝3；(2)过点P(－2，4)；(3)焦点到准线的距离为.解(1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.(2) 点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.综合提高（限时25分钟）7．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.答案D8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()．A．2B．3C.D.解析直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选择A.答案A9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．解析由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－，又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.答案210．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解法一设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.12．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)时，求点B的坐标．解(1)设N(x，y)，由得点...