第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算双基达标限时20分钟1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量AA′模相等的向量有()．A．0个B．3个C．7个D．9个解析如右图，与向量AA′模相等的向量有：A′A，BB′，B′B，CC′，C′C，DD′，D′D.答案C2．化简PM－PN＋MN所得的结果是()．A.PMB.NPC．0D.MN解析PM－PN＋MN＝NM＋MN＝0.答案C3．下列说法中正确的是()．A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC解析|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB＋AD＝AC，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．答案B4．对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是________．解析根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立；对于③：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；对于④：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|.只有②一定不成立．答案②5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用AB、AD、AA1表示向量MN，则MN＝________．解析MN＝MB＋BC＋CN＝AB＋AD＋(CB＋BB1)＝AB＋AD＋(－AD＋AA1)＝AB＋AD＋AA1.答案AB＋AD＋AA16．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量；(3)试写出与AB相等的所有向量；(4)试写出AA1的相反向量．解(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1、A1A、BB1、B1B、CC1、C1C、DD1、D1D共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有AD1、D1A、A1D、DA1、BC1、C1B、B1C、CB1，共8个．(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1、DC及D1C1，共3个．(4)向量AA1的相反向量为A1A、B1B、C1C、D1D，共4个．综合提高（限时25分钟）7．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量相等的是()．A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB解析∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO＝OB.∴应选D.答案D8．空间任意四个点A、B、C、D，则DA＋CD－CB等于()．A.DBB.ACC.ABD.BA解析DA＋CD－CB＝DA＋BD＝BA.答案D9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝______(用a，b，c表示)．解析A1B＝CB－CA1＝CB－(CA＋CC1)＝－a＋b－c.答案－a＋b－c10．已知点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝________．解析设D为AB的中点，则MA＋MB＝2MD，又M为△ABC的重心，则MC＝－2MD，所以MA＋MB＋MC＝0.答案011．如图，在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中，求证：AB＋BC＋CA′＝DD′.证明如图，AB＋BC＝AC，AC＋CA′＝AA′，所以AB＋BC＋CA′＝AC＋CA′＝AA′，在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中，AA′＝DD′，所以AB＋BC＋CA′＝DD′.12．(创新拓展)已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，求λ的值．解连结CG并延长交AB于D，则D为AB中点，且CG＝2GD，∴OA＋OB＋OC＝OG＋GA＋OG＋GB＋OG＋GC＝3OG＋GA＋GB＋GC＝3OG＋2GD＋GC＝3OG－GC＋GC＝3OG.∴λ＝3.
