第3课时空间向量与空间角双基达标限时20分钟1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()．A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝解析若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝90°－β.答案D2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为()．A.B.C.D.解析线面角的范围是[0，]．答案C3．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为()．A.B.C.或D.或解析只需搞清二面角的范围是[0，π]．答案C4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，OP＝(1，x－1，2)，BM＝(－2，0，1)．所以OP·BM＝0，所以直线BM与OP所成角为.答案5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析AB＝(－1，2，0)，AC＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·AB＝0，n·AC＝0知令x＝2，则y＝1，z＝.∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为OC＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值．答案6．如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，∴A1B＝(－，1，－)，O1A＝(，－1，－)．∴cos〈A1B，O1A〉＝＝＝－.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.综合提高（限时25分钟）7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，PC＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以cos〈PC，n〉＝＝－，所以〈PC·n〉＝120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.答案A8．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()．A.B.C.D.解析如图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)．结合图形可知，OC＝(0，，0)且OC为面BOF的一个法向量，由BC＝(－，，0)，FB＝(，0，－)，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.答案D9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，BC1＝(－1，0，1)，A1D＝(－1，0，－1)，BD＝(－1，－1，0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，设平面A1BD与BC1所成的角为θ，n⊥A1D，n⊥BD，所以n·A1D＝0，n·BD＝0，所以解得所以n＝(1，－1，－1)，则cos〈BC1，n〉＝＝－，所以sinθ＝，所以cosθ＝＝.答案10．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为________．解析取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系．设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)．所以OA＝(0，0，)，BA＝(0，，)，BD＝(，，0)．由于OA＝(0，0，)为平面BCD的法向量．设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，OA〉＝，sin〈n，OA〉＝.答案11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.解如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0...
