第4课时空间向量与空间距离（选学）双基达标限时20分钟1．若O为坐标原点，OA＝(1，1，－2)，OB＝(3，2，8)，OC＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()．A.B．2C.D.解析由题意OP＝(OA＋OB)＝(2，，3)，PC＝OC－OP＝(－2，－，－3)，|PC|＝＝.答案D2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在a内，则P(－2，1，4)到α的距离为()．A．10B．3C.D.解析设点P到α的距离为h，则h＝＝.答案D3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为()．A.aB.C.D.解析连结BD，AC交于点O，则D1O＝＝a为所求．答案D4．二面角αlβ的平面角为60°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析∵CD＝CA＋AB＋BD，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.∴CA·AB＝0，AB·BD＝0，∴|CD|＝＝＝.答案5．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角EABC的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．解析直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝.答案6．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离．解∵PA＝(－2，－6，2)．∴PA·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，|n|＝＝5.∴点P到直线l的距离为＝.综合提高（限时25分钟）7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()．A.B.C.D.解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，C1O＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝＝＝.答案B8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()．A.B.C.D.解析如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴D1B1＝(2，2，0)，D1A＝(2，0，－4)，AA1＝(0，0，4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A，∴即令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．由AA1在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.答案C9．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．解析以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，所以AB＝(－4，3，0)，AP＝(－4，0，)，所以AP在AB上的投影长为＝，所以P到AB的距离为d＝＝＝3.答案310．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，A1C1＝(－4，6，0)，A1B＝(0，6，－3)，BC1＝(－4，0，3)，A1B1＝(0，6，0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，由解得n＝(1，，)．∴d＝＝.答案11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，EF＝(－，，0)，PE＝(1，，－1)，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF＝0，且n·PE＝0，所以令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为AE＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，∴EF＝MN，AM＝BF，∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于AB＝(0，4，0)，所以AB在n上的投影为＝＝－.∴两平行平面间的距离d＝＝.
