第一部分专题五第三讲用空间向量的方法解立体几何问题A组1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(B)A．B．C．－D．－[解析]设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以DE＝(0，，1)，AC＝(－1,1,0)，则cos〈DE，AC〉＝＝＝，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(B)A．，－，4B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15[解析]AB⊥BC⇒AB·BC＝3＋5－2z＝0，所以z＝4，又BP⊥平面ABC，所以BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，①BP·BC＝3x－3＋y－3z＝0，②由①②得x＝，y＝－.3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12，②A1C·(A1B1－A1A)＝0，③向量AD1与向量A1B的夹角为60°，④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·A1A·AD|，其中正确命题的序号是(B)A．①③B．①②C．①④D．①②④[解析]如图所示：以点D为坐标原点，以向量DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，对于①：A1A＝(0,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1A＋A1D1＋A1B1＝(－1,1，－1)，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3，而A1B12＝1，所以(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12.所以①正确；对于②：A1C＝(－1,1，－1)，A1A＝(0,0，－1)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1C·(A1B1－A1A)＝0.所以②正确；对于③：AD1＝(－1,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，AD1·A1B＝－1，cos〈AD1，A1B〉＝＝＝－，所以AD1与A1B的夹角为120°，所以③不正确；对于④：因为AB·A1A＝0，所以④错误．故选B．4．(2018·海口一模)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A－BC－P的大小为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]因为AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，所以AC⊥BC，AC＝＝＝1，以点A为原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0，)，B(，1,0)，C(0,1,0)，PB＝(，1，－)，PC＝(0,1，－)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则取z＝1，得n＝(0，，1)，平面ABC的法向量m＝(0,0,1)，设二面角A－BC－P的平面角为θ，则cosθ＝＝，所以θ＝60°，所以二面角A－BC－P的大小为60°.5．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是.[解析]如图所示建立空间直角坐标系，则依题意可知D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知AD＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向理n＝(x，y，z)，因为SD＝(，0，－1)，DC＝(，1,0)，所以n·SD＝0，n·DC＝0，可推出－z＝0，＋y＝0，令x＝2，则有y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1,1)．设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝.6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.[解析]延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，连接BD，C1D，DM，则AB1∥BD，∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，则BM＝，BD＝2，C1D2＝A1D2＋A1C－2A1D·A1C1cos60°＝16＋4－2×4＝12.DM2＝C1D2＋C1M2＝13，所以cos∠DBM＝＝0，所以∠DBM＝90°.7．点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为90°.[解析]不妨设PM＝a，PN＝b，如图．作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，因为∠EPM＝∠EPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，所以EM⊥FN，所以二面角α－AB－β的大小为90°.8．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC...
