板块命题点专练(五)三角函数的诱导公式及图象与性质命题点一同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________.解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(－2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝.综上可得sinβ＝.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝.法三：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝(k∈Z)．答案：2．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝________.解析：因为tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝＝.答案：3．(2014·江苏高考)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－.所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－.由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.命题点二三角函数的图象与性质1.(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．解析：由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.∵φ∈，∴φ＝－.答案：－2．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．解析：法一：函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，y＝cosx的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二：联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin2x＝cosx解的个数．方程可化为2sinxcosx＝cosx，即cosx(2sinx－1)＝0，所以cosx＝0或sinx＝.①当cosx＝0时，x＝kπ＋，k∈Z，因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，共3个；②当sinx＝时，因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，，共4个．综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点．答案：73．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为____________．解析：将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．答案：x＝＋(k∈Z)4．(2016·全国卷Ⅱ改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数解析式为________．解析：由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝－，故y＝2sin.答案：y＝2sin5．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.答案：6．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.解：(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.所以sin≥sin＝－.所以当x∈时，f(x)≥－.
