§2.3指数与指数函数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017指数与指数函数1.比较幂的大小2.指数函数图象和性质的运用B7题5分19题16分填空题解答题★★☆分析解读指数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.五年高考考点指数与指数函数1.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则2x,3y,5z的大小关系为(用“<”连接).答案3y<2x<5z2.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为.答案{x|-1
a>c4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.由01知lna<0,lnb>0,因为g'(x)=axlna+bxlnb,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axlna+bxlnb)'=ax(lna)2+bx(lnb)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点指数与指数函数1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=ex-e-x+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x2)>2,则实数x的取值范围是.答案(-1,3)2.(2018江苏金陵中学高三月考)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.答案(-∞,1]3.(苏教必1,三,1,3,变式)若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是.答案(-,-1)∪(1,)4.(2016江苏苏州一模,11)函数f(x)=的值域为.答案(-∞,1]5.(2017江苏苏州期中,15)已知函数f(x)=3x+λ·3-x(λ∈R).(1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集;(2)当x∈[0,2]时,不等式f(x)≤6恒成立,求实数λ的取值范围.解析(1) f(x)=3x+λ·3-x为奇函数,∴f(-x)+f(x)=3-x+λ·3x+3x+λ·3-x=(3x+3-x)+λ(3x+3-x)=(λ+1)(3x+3-x)=0, 3x+3-x>0,∴λ+1=0,即λ=-1.此时f(x)=3x-3-x,由f(x)>1,得3x-3-x>1,即(3x)2-3x-1>0,解得3x<(舍)或3x>,即x>log3.∴不等式f(x)>1的解集为.(2)由f(x)≤6得3x+λ·3-x≤6,即3x+≤6,令t=3x,x∈[0,2],则t∈[1,9],原不等式等价于t+≤6在t∈[1,9]上恒成立,亦即λ≤6t-t2在t∈[1,9]上恒成立,令g(t)=6t-t2,t∈[1,9],当t=9时,g(t)取得最小值g(9)=-27,∴λ≤-27.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:50分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(苏教必1,三,1,7,变式)关于x的方程=有负数根,则实数a的取值范围为.答案2.(苏教必1,三,1,8,变式)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是.答案(-3,1)3.(2017江苏海安高级中学阶段检测,12)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值为.答案log24.(2016江苏南京、盐城一模,14)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2x+,设g(x)=若函数y=g(x)-t有且只有一个零点,则实数t的取值范围是.答案二、解答题(共30分)...
