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(新课标)备战高考数学 “3+1”保分大题强化练(三)理-人教版高三数学试题VIP免费

(新课标)备战高考数学 “3+1”保分大题强化练(三)理-人教版高三数学试题_第1页
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“3+1”保分大题强化练三前3个大题和1个选考题不容有失1.设数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).(1)求证:数列是等差数列;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)证明: an+1=,∴-=-=-==-.又a1=1,∴=-1,∴数列是以-1为首项,-为公差的等差数列.(2)由(1)知=-1+(n-1)=-,∴an=2-=,∴bn====1+=1+,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=n+=n+=n+,∴数列{bn}的前n项和Tn=n+.2.如图所示多面体ABCDEF,其底面ABCD为矩形,且AB=2,BC=2,四边形BDEF为平行四边形,点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点.(1)已知G为线段FC的中点,证明:BG∥平面AEF;(2)若二面角FBDC的大小为,求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值.解:(1)证明:如图,连接AC交BD于H,连接GH,则GH为△ACF的中位线,∴GH∥AF. GH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,∴GH∥平面AEF.又BD∥EF,BD⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴BD∥平面AEF.连接DG, BD∩GH=H,BD⊂平面BDG,GH⊂平面BDG,∴平面BDG∥平面AEF, BG⊂平面BDG,∴BG∥平面AEF.(2)取BC的中点O,AD的中点M,连接OF,OM,则OF⊥平面ABCD,OM⊥BC,以O为坐标原点,OC,OM,OF所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),∴BD=(2,2,0).设OF=a(a>0),则F(0,0,a),∴BF=(1,0,a).设平面BDEF的法向量为n1=(x,y,z),由得令x=-a,得n1=(-a,a,).易得平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1). 二面角FBDC的大小为,∴|cos〈n1,n2〉|===,解得a=.设直线AE与平面BDEF所成的角为θ, AE=AD+DE=BC+BF=(2,0,0)+=,且n1=,∴sinθ=|cos〈AE,n1〉|===.故直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为.3.2019年2月25日,第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕,最终成绩揭晓,以色列选手排名第一,而中国队无一人获得金牌,最好成绩是获得银牌的第15名,总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中,过去拿冠军拿到手软的中国队,已经连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了?”,一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点.某重点高中培优班共50人,现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查,得到如下的列联表:不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生5女生10总计50若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查,其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人.(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关?说明你的理由.(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生,记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.参考公式与数据:K2=.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解:(1)设认为不应该下“禁奥令”的同学共有x人,则=,解得x=30,所以列联表补充如下:不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生20525女生101525总计302050所以K2=≈8.333>6.635,所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关.(2)由题意,可知在这10人中,男、女生各5人,其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”,ξ的所有可能取值有1,2,3,4.P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==.所以ξ的分布列为ξ1234P所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=2.4.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,直线l1的倾斜角为30°,且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l2:ρcosθ=3.从坐标原点O作射线交l2于点M,点N为射线OM上的点,满足|OM|·|ON|=12,记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l1与曲线C交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的值.解:(1)直线l1的参数方程为(t为参数),即(t为参数).设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0),则又ρ1cosθ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cosθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0(x≠0)...

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