“3＋1”保分大题强化练三前3个大题和1个选考题不容有失1．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明： an＋1＝，∴－＝－＝－＝＝－.又a1＝1，∴＝－1，∴数列是以－1为首项，－为公差的等差数列．(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，∴an＝2－＝，∴bn＝＝＝＝1＋＝1＋，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋＝n＋＝n＋，∴数列{bn}的前n项和Tn＝n＋.2.如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB＝2，BC＝2，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．(1)已知G为线段FC的中点，证明：BG∥平面AEF；(2)若二面角FBDC的大小为，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接GH，则GH为△ACF的中位线，∴GH∥AF. GH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，∴GH∥平面AEF.又BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴BD∥平面AEF.连接DG， BD∩GH＝H，BD⊂平面BDG，GH⊂平面BDG，∴平面BDG∥平面AEF， BG⊂平面BDG，∴BG∥平面AEF.(2)取BC的中点O，AD的中点M，连接OF，OM，则OF⊥平面ABCD，OM⊥BC，以O为坐标原点，OC，OM，OF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2，0)，∴BD＝(2,2，0)．设OF＝a(a＞0)，则F(0,0，a)，∴BF＝(1,0，a)．设平面BDEF的法向量为n1＝(x，y，z)，由得令x＝－a，得n1＝(－a，a，)．易得平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)． 二面角FBDC的大小为，∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得a＝.设直线AE与平面BDEF所成的角为θ， AE＝AD＋DE＝BC＋BF＝(2,0,0)＋＝，且n1＝，∴sinθ＝|cos〈AE，n1〉|＝＝＝.故直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为.3．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生5女生10总计50若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由．(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K2＝.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：(1)设认为不应该下“禁奥令”的同学共有x人，则＝，解得x＝30，所以列联表补充如下：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生20525女生101525总计302050所以K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1,2,3,4.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.所以ξ的分布列为ξ1234P所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.4.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则又ρ1cosθ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)...
