第1讲平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1．平面α、β的公共点多于两个，则①α⊥β；②α、β至少有三个公共点；③α、β至少有一条公共直线；④α、β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数是________．[解析]由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．[答案]22．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件．[解析]若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．[答案]充分不必要3.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．[解析]依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．[答案]54．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．①EF与GH平行；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．[解析]连结EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．[答案]④5．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．其中真命题的个数是________．[解析]因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．故真命题的个数为0.[答案]06.如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．[解析]连结AC.因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．因为OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，所以OC⊥AB.又AB∩BO＝B，所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，所以∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.[答案]30°7．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．[解析]如图1，因为AC∩BD＝P，图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝，所以BD＝.如图2，同理可证AB∥CD.图2所以＝，即＝，所以BD＝24.综上所述，BD＝或24.[答案]或248．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．[解析]如图，连结对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．联想正方体的其他对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，所以对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，故这样的直线l可以作4条．[答案]49．对于四面体ABCD，下列命题中：①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面．其中正确的是________(填序号)．[解析]对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误．[答案]①10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．[解析]将展开图还原为正...
