(时间：50分钟满分：80分)解答题(每小题10分，共80分)1．(2011·辽宁卷)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3.(2)解由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．2．(2011·福建卷)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b.3．(2011·南通调研)已知x，y，z均为正数．求证：＋＋≥＋＋.证明因为x，y，z都是为正数，所以＋＝≥.同理，可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.4．(2011·盐城调研)已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明因为m＞0，所以1＋m＞0，所以要证2≤，即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故2≤.5．(2011·南京模拟)已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.证明法一左边－右边＝＋－1＝＝因为a＋b＝2，所以左边－右边＝.因为a，b都是正实数，所以ab≤＝1.所以左边－右边≥0，即＋≥1.法二由柯西不等式，得[()2＋()2]≥(a＋b)2.因为a＋b＝2，所以上式即为×4≥4.即＋≥1.法三因为a，b都是正实数，所以＋≥2a，＋≥2b.两式相加，得＋＋＋≥2a＋2b，因为a＋b＝2，所以＋≥1.6．(2011·宿迁联考)设x，y，z为正数，证明：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．证明因为x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)．同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)．三式相加，即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)．又xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．7．(2011·镇江调研)已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ＜c.求证：cos2θ＋sin2θ＜.证明由柯西不等式，可得cos2θ＋sin2θ≤[(cosθ)2＋(sinθ)2](cos2θ＋sin2θ)＝(acos2θ＋bsin2θ)＜.8．(2011·南通调研)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．证明因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，即＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1.
